Équation_de_Pell

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Sommaire 1 Définition générale 2 Cas x²-ny² = 1 2.1 Exemples détaillés 3 Cas x²-ny² = -1 3.1 Exemple 4 Bibliogaphie

[] Définition générale

Une équation de Pell est toute équation diophantienne de la forme <math>x^2-ny^2=\pm 1\,</math>

où n est un entier positif différent d'un carré parfait. En l'appelant « diophantienne », nous disons réellement ce que nous avons l'intention de faire avec l'équation plutôt que d'en décrire une propriété intrinsèque : nous avons l'intention de chercher les solutions où x et y sont entiers. Dans le cas <math>x^2-ny^2=1\,</math>, une infinité de telles solutions de cette équation existent. Celles-ci produisent de bonnes approximations rationnelles de la racine carrée du nombre naturel n. Si <math>x^2-ny^2=1\,</math> a toujours une solution particulière, ceci n'est pas le cas de <math>x^2-ny^2=-1\,</math>, par exemple l'équation <math>x^2-3y^2=-1\,</math>, n'admet aucune solution entière.

Le nom de cette équation provient du mathématicien suisse Leonhard Euler qui attribua son étude de façon erronée à John Pell.

Par exemple, considérons la racine carrée de deux <math>\sqrt</math> . Elle est souvent approchée par 1,414..., que certains peuvent incorrectement interpréter comme 1,41414141414..., ou 140/99. De la même manière, l'inverse de la racine carrée de deux à trois décimales est 0,707, qui suggère 0,70707070..., ou 70/99. Si 70/99 approche l'inverse de la racine carrée de deux, il découle que 99/70 approche la racine carrée de deux. Ainsi, la racine carrée de deux est comprise entre 140/99 et 99/70. La moyenne arithmétique de ces deux rationnels est 19601/13860. Ce nombre élevé au carré est 384199201/192099600. On voit que 2 fois le dénominateur 192099600 est 384199200, qui diffère du numérateur de seulement 1. p = 19601 et q = 13860 satisfont l'équation diophantienne <math>2q^2 + 1 = p^2\,</math>. Toute fraction de nombres naturels p et q qui satisfait cette équation sera une bonne approximation raisonnable pour la racine carrée de deux.

Plus généralement, si n est un nombre naturel donné, alors toute fraction de nombres naturels p et q qui satisfait à l'équation de Pell

<math>nq^2 + 1 = p^2\,</math>

est une bonne approximation pour la racine carrée de n. Plus les nombres p et q sont grands, meilleure est l'approximation.

On peut voir que si (a, b) et (c, d) satisfont une équation de Pell du type <math>x^2-ny^2=1\,</math>, alors il vient

<math>(bc + ad, bd + nac)\,</math>

et

<math>(bc - ad, bd - nac)\,</math>.

Le mathématicien français Pierre de Fermat à démontré que p et q peuvent toujours être trouvés pour satisfaire une équation de Pell pour tout nombre naturel n qui n'est pas un carré parfait. Avec un ordinateur capable de calculer les grands nombres, il est facile ainsi de converger rapidement vers n'importe quelle racine carrée (donc irrationnelle) de n. Comme bonus, une équation de Pell peut toujours être résolue en un nombre fini d'étapes en calculant la représentation en fraction continuée de la racine carrée de n.

[] Cas x²-ny² = 1

On démontre alors :

Si <math>\sqrt n = [a_0, \overline,a_m}]</math> avec <math>m \ge 1</math> car <math>n\,</math> n'est pas un carré parfait, alors

l'équation de Pell <math>x^2-ny^2 = 1\,</math> admet, suivant la parité de <math>m\,</math>, la solution minimale <math>(x_1,y_1)\,</math> suivante :

• quand <math>m\,</math> est pair, le couple <math>(x_1,y_1)=(p_,q_)\,</math> où <math>\frac}}</math> est la réduite de rang <math>(m-1)\,</math> de <math>\sqrt n</math>
• quand <math>m\,</math> est impair, le couple <math>(x_1,y_1)=(p_,q_)\,</math> où <math>\frac}}</math> est la réduite de rang <math>(2m-1)\,</math> de <math>\sqrt n</math>

La réduite de rang <math>r\,</math> de <math>\sqrt n</math> étant la fraction <math>\frac=a_0 + \frac{a_1 + \frac{a_2 + \frac}}}</math> qui est irréductible.

Les autres solutions <math>(x_k,y_k)\,</math> avec <math>k \ge 1\,</math> sont obtenues en identifiant <math>x_k+y_k\sqrt\,</math> au développement de <math>(x_1+y_1\sqrt)^k</math>

En particulier, <math>(x_2,y_2)=(x_1^2+ny_1^2,\ 2x_1y_1)\,</math>, <math>(x_3,y_3)=(x_1^3+3nx_1y_1^2,\ 3x_1^y_1+ny_1^3)\,</math>, etc.

La formule de récurrence étant : <math>(x_,y_)=(x_kx_1+ny_ky_1,\ x_ky_1+y_kx_1)\,</math>

[] Exemples détaillés

• Recherche des solutions de <math>x^2-28y^2 = 1\,</math>

Le développement en fraction continuée périodique de <math>\sqrt\,</math> est <math>[5, \overline]</math> (<math>m = 4</math> et est pair)

La réduite de rang <math>(m-1)=3</math> de <math>\sqrt</math> est <math>5+\frac}} = \frac</math>

La solution minimale est donc <math>(x_1,y_1)=(127,24)\,</math> qui vérifie bien <math>127^2-28\cdot24^2 = 1\,</math>

Les autres solutions sont <math>(x_2,y_2)=(32257,6096)\,</math>, <math>(x_3,y_3)=(8193151,1548360)\,</math>, etc.

• Recherche des solutions de <math>x^2-19y^2 = 1\,</math>

Le développement en fraction continuée périodique de <math>\sqrt\,</math> est <math>[4, \overline]</math> (<math>m = 6</math> et est pair)

La réduite de rang <math>(m-1)=5</math> de <math>\sqrt</math> est <math>4+\frac{1+ \frac}}}} = \frac</math>

La solution minimale est donc <math>(x_1,y_1)=(170,39)\,</math> qui vérifie bien <math>170^2-19\cdot39^2 = 1\,</math>

Les autres solutions sont <math>(x_2,y_2)=(57799,13260)\,</math>, <math>(x_3,y_3)=(19651490,4508361)\,</math>, etc.

• Recherche des solutions de <math>x^2-17y^2 = 1\,</math>

Le développement en fraction continuée périodique de <math>\sqrt\,</math> est <math>[4, \overline]</math> (<math>m = 1</math> et est impair)

La réduite de rang <math>(2m-1)=1</math> de <math>\sqrt</math> est <math>4+\frac = \frac</math>

La solution minimale est donc <math>(x_1,y_1)=(33,8)\,</math> qui vérifie bien <math>33^2-17\cdot8^2 = 1\,</math>

Les autres solutions sont <math>(x_2,y_2)=(2177,528)\,</math>, <math>(x_3,y_3)=(143649,34840)\,</math>, etc.

• Recherche des solutions de <math>x^2-29y^2 = 1\,</math>

Le développement en fraction continuée périodique de <math>\sqrt\,</math> est <math>[5, \overline]</math> (<math>m = 5</math> et est impair)

La réduite de rang <math>(2m-1)=9</math> de <math>\sqrt</math> est <math>5+\frac{2+ \frac}}}}}}}} = \frac</math>

La solution minimale est donc <math>(x_1,y_1)=(9801,1820)\,</math> qui vérifie bien <math>9801^2-29\cdot1820^2 = 1\,</math>

Les autres solutions sont <math>(x_2,y_2)=(192119201,35675640)\,</math>, <math>(x_3,y_3)=(3765920568201,699313893460)\,</math>, etc.

[] Cas x²-ny² = -1

On démontre que si <math>(x_1,y_1)\,</math> est une solution particulière, alors les couples <math>(x_k,y_k)\,</math> vérifiant

<math>x_k+y_k\sqrt = (x_1+y_1\sqrt)^k</math> avec <math>k=1,3,5,7,\cdots</math>

sont les solutions générales.

[] Exemple

Une solution particulière de <math>x^2-5y^2=-1\,</math> est <math>(2,1)\,</math>

Les développements :

<math>(2+\sqrt)^3=(38+17\sqrt)\,</math>

<math>(2+\sqrt)^5=(682+305\sqrt)\,</math>

<math>(2+\sqrt)^7=(12238+5473\sqrt)\,</math>

fournissent les solutions <math>(38,17)\,</math>, <math>(682,305)\,</math> et <math>(12238,5473)\,</math> :

<math>38^2-5\cdot17^2=-1\,</math>

<math>682^2-5\cdot305^2=-1\,</math>

<math>12238^2-5\cdot5473^2=-1\,</math>

[] Bibliogaphie

• Jean Trignan; Fractions continues & Différences finies, Editions du Choix, 1994, ISBN 2-909028-16-X

 
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