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Les Éléments (???????? en grec) sont un traité mathématique et géométrique, constitué de 13 livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers 300 av. J.-C. Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitive.
Les Éléments sont le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systèmatique de la géométrie et son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire : les Éléments furent l'un des premiers livres imprimés et n'est précédé que par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de 1 000). Pendant des siècles, il faisait partie du cursus universitaire standard.
[] Principes
La méthode d'Euclide a consisté à baser ses travaux sur des définitions, des postulats et des « notions ordinaires » (ces deux termes seraient de nos jours appelés des axiomes). Par exemple, le livre I contient 23 définitions (point, ligne, surface, etc.), cinq postulats et cinq notions ordinaires.
Postulats du livre I :
- Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
- Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
- Etant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
- Tous les angles droits sont congruents
- Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.
Notions ordinaires du livre I :
- Des choses qui sont égales à une même chose sont égales entre elles.
- Si des choses égales sont ajoutées à d'autres choses égales, leurs sommes sont égales.
- Si des choses égales sont soustraites à d'autres choses égales, les restes sont égaux.
- Des choses qui coïncident avec une autre sont égales entre elles.
- Le tout est plus grand que la partie.
[] Postérité
Le succès des Éléments est du principalement à la présentation logique de la quasi totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait. L'utilisation systèmatique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduits d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.
Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néammoins, les Éléments restent une oeuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leur propre travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leur propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.
Dans cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, appelé « postulat des parallèles » a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIXe siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non-euclidiennes cohérentes en prenant sa négation.
[] Histoire
Les Éléments furent rédigés vers 300 av. J.-C. par Euclide, mathématicien grec qui fut probablement un disciple de Platon. Bien que la plupart des théorèmes leur soient antérieurs, les Éléments étaient suffisamment complets et rigoureux pour éclipser les oeuvres géométriques qui les ont précédés et peu de choses sont connues sur la géométrie pré-euclidienne.
L'ouvrage fut traduit en arabe après avoir été donné aux Arabes par l'Empire byzantin, puis traduit en latin d'après les textes arabes. La première édition imprimée date de 1482 et fut depuis traduit dans une multitude de langues et publié dans plus de 1 000 éditions différentes. Des copies du texte grec existent toujours, par exemple dans la bibliothèque du Vatican ou à la Bodlean library à Oxford, mais ces manuscripts sont de qualité variable et toujours incomplets. Par analyse des traductions et des originaux, il a été possible d'émettre des hypothèses sur le contenu originel, dont il ne subsiste aucune copie intégrale.
[] Axiomisation ultérieure
Les mathématiciens du XIXe siècle découvrirent que les démonstrations d'Euclide nécessitent des hypothèses additionnelles, non spécifiées dans le texte original. David Hilbert en donna une liste révisée contenant 23 axiomes supplémentaires.
[] Livres
Les Éléments sont organisés comme suit :
- Les livres I à IV traitent de géométrie plane :
- Les livres XI à XII traitent de géométrie dans l'espace :
Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.
[] Voir aussi
[] Liens internes
[] Liens externes
[] Bibliographie
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