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Si <math>f\,</math> est une fonction de <math>\mathbb</math> dans <math>[0 ; + \infty[ \,</math>, on peut considérer l'ensemble des points M dont les coordonnées polaires <math>(\rho, \theta)\,</math> vérifient l'équation suivante
- <math>\rho = f(\theta) \,</math>
On dit que la courbe en question a pour équation polaire :
- <math>\rho = f(\theta) \,</math>
rem: si <math>\rho = 0 \,</math>, on placera alors le point M à l'origine du repère bien qu'en toute théorie, on ne puisse plus définir l'angle <math>(\vec,\vec)</math>.
Si une courbe possède une équation polaire et si l'intervalle <math>[\theta_1;\theta_2]\,</math> est inclus dans le domaine de domaine de définition, la restriction de la courbe à cet intervalle peut être parcourue en tournant dans le sens trigonométrique de l'angle <math>\theta_1 \,</math> à l'angle <math>\theta_2 \,</math>.
[] Tangente à la courbe
Si <math>f\,</math> est une fonction dérivable alors
- <math>\frac} = f'(\theta)\vec(\theta) + f(\theta)\vec(\theta)</math>
où <math>\vec</math> est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que <math>\vec</math> et <math>\vec</math> un vecteur unitaire tel que <math>(\vec,\vec)=\frac</math>.
Ce vecteur est un vecteur directeur de la tangente (T) à la courbe au point associé à <math>\theta</math>
Si <math>\alpha</math> est l'angle que forme (T) et (OM), on obtient alors la relation suivante :
- <math>\tan(\alpha)= |\frac|</math> si <math>f'(\theta) \,</math> est non nul
- <math>\alpha = \frac</math> sinon
[] Abscisse curviligne
Si l'origine est prise en <math>\theta_0 \,</math> alors l'abscisse curviligne, c?est-à-dire la longueur de la courbe entre le point <math>M(\theta_0)\,</math> et <math>M(\theta_1)\,</math> est :
- <math>\int_^\sqrtd\theta</math>
[] Rayon de courbure
Le rayon de courbure est le rayon du cercle tangent à (T) et qui approche « au mieux » la courbe.
Si la fonction <math>f \,</math> est deux fois dérivable, et si <math>2f'^2(\theta) + f^2(\theta)-f(\theta)f(\theta) \,</math> est non nul, le rayon de courbure est :
- <math>\frac{(f'^2(\theta) + f^2(\theta))^}{2f'^2(\theta) + f^2(\theta)-f(\theta)f(\theta)}</math>
[] Voir aussi
Courbes planes
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/équation polaire
