équivalence_logique

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En logique, deux propositions P et Q sont logiquement équivalentes ou équivalentes si P et Q ont simultanément même valeur de vérité; c'est-à-dire que P et Q sont vraies (resp. fausses), dans exactement les mêmes situations. On écrit

« P ? Q »

qui se lit

« P est vraie si et seulement si Q est vraie »

« ? » est le connecteur d?équivalence dont la table de vérité est donnée ci-dessous :

P	Q	P ? Q
Vrai	Vrai	Vrai
Vrai	Faux	Faux
Faux	Vrai	Faux
Faux	Faux	Vrai

L?équivalence P ? Q n?est autre que (P ? Q) ? (Q ? P) ((P implique Q) et (Q implique P)) .

Autrement dit, deux propositions P et Q sont équivalentes si et seulement si chacune d?entre elles implique l?autre.

Dans ce cas, les propositions « P ? Q » et « Q ? P » sont dites réciproques l?une de l?autre.

Pour démontrer, une équivalence P ? Q, il faut donc démontrer l?implication P ? Q et sa réciproque.

On remarque que (P ? Q) ? (Q ? P)

Dans le langage naturel, pour traduire que deux propositions P et Q sont équivalentes, on dira indifféremment :

• P est vraie si et seulement si Q est vraie (ou ssi).
• Pour que P soit vraie, il faut et il suffit que Q soit vraie.
• Une condition nécessaire et suffisante pour que P soit vraie est que Q soit vraie (ou cns).
• La vérité de P est une condition nécessaire et suffisante pour que Q soit vraie.
• P équivaut à Q.

D?autres expressions « ou encore », « ou » (mais pas le connecteur logique ou), « soit » peuvent traduire une équivalence comme dans l?exemple suivant :

Pour tout réel x, x²=x équivaut à x²-x=0 soit x(x-1)=0 ou encore ((x=0) ou (x=1))

Ici, « soit » (XOR) ne sert pas à définir un objet, et le dernier « ou » est un ou logique (OR).

Certains auteurs utilisent l?abréviation ssi pour écrire des équivalences.

[] Propriétés

• P ? P (l'équivalence est réflexive)
• (P ? Q) ? (Q ? P) (l'équivalence est symétrique)
• ((P ? Q) ? R) ? (P ? (Q ? R)) (l?équivalence est transitive)

Ces trois lois montrent que l'équivalence logique est une relation d'équivalence

• ¬¬P ? P (Dans la logique classique, ceci équivaut au principe du tiers exclu)
• (P ? Q) ? (¬ P ? ¬Q) (contraposition)

Exemples

• On a
  

<math>\forall n\in \mathbb N, n\geq 2, \forall x\in\mathbb R - \, (x+1)^n=(x-1)^n\Leftrightarrow \frac=1</math>

• L?équivalence ?x, y?? (x=y ? x²=y²) (en élevant au carré) est fausse parce que par exemple 2²=(-2)² n?implique pas 2=-2
• L?équivalence suivante est vraie

<math>\forall x\in [-1, +\infty[, x-1\geq \sqrt \Leftrightarrow ((x-1)^2\geq x+1\quad \wedge \quad x-1\geq 0)</math> (en élevant au carré)

En élevant au carré, on perd l?information que x-1 est supérieur à une racine carrée et doit être positif et pour avoir l?équivalence, on rajoute la propriété x-1?0.

Remarques :

Démontrer par équivalence n?est pas toujours simple ; dans certains cas, il est préférable de démontrer séparément les implications réciproques.

Dire que l?équivalence P ? Q est vraie ne veut pas dire que P et Q sont vraies, mais que si l?une d?entre elles est vraie (resp. fausse), l?autre aussi.

[] Équivalence entre plusieurs propositions

Soit trois propositions P, Q et R.

Pour démontrer les équivalences P ? Q ? R, il suffit de démontrer les implications :

P ? Q, Q ? R et R ? P.

Soit les implications P ? Q, Q ? R et R ? P établies.

Pour démontrer que Q ? P, on utilise Q ? R et R ? P.

Pour démontrer que R ? Q, on utilise R ? P et P ? Q.

Et enfin pour démontrer que P ? R, on utilise P ? Q et Q ? R.

Ce type de démonstration s?appelle une démonstration « circulaire » ou « en cercle ».

On peut généraliser à n propositions P₁, P₂? P_n.

Pour démontrer les équivalences P₁ ? P₂ ?? ? P_n, il suffit de démontrer les implications :

P₁ ? P₂, P₂ ? P₃? P_n-1 ? P_n et P_n ? P₁.

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