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Une algèbre sur un anneau commutatif unitaire est une structure algébrique combinant la structure de module et celle d'anneau
Si A est un anneau commutatif unitaire, et (M , +, *) un anneau
Si de plus, M est muni d'une loi externe . de A × M dans M vérifiant, pour tous éléments a et b de A et x, y de M:
- a.(x + y) = a.x + a.y (distributivité 1)
- (a + b).x = a.x + a.y (distributivité 2) On remarquera que la loi + du membre de gauche est celle de l'anneau A et la loi + du membre de droite est celle du groupe M
- 1.x = x
- (ab).x = a.(b.x) (associativité 1)
- a.(x*y) = (a.x)*y = x*(a.y) (associativité 2)
Alors (M, + , * , .) est une A-algèbre
Les éléments de A sont appelés les scalaires.
Lorsque A est un corps commutatif, on parle alors d'algèbre sur un corps
[] Exemples
- Si (M , +, .) est un A-module et A un anneau commutatif unitaire, l'ensemble des endomorphismes de module sur M est une A-algèbre
- Tout anneau (M, + , * ) est une <math>\mathbb</math>- algèbre pour la loi externe définie par
- pour n > 0, n.x = x + ... + x avec n termes x
- pour n = 0, n.x = 0
- pour n < 0, n.x = -(x + ... + x) avec |n| termes x
- L'ensemble des polynômes sur un anneau A commutatif unitaire est une A-algèbre.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Algèbre sur un anneau
