Classe de régularité

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Les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées.

Si $I \,\!$ est un intervalle de $\R \,\!$ , et $k \geq 1$ un entier on note $\mathcal^k(I,\R) \,\!$ l'ensemble des fonctions de $I \,\!$ vers $\R \,\!$ qui sont $k \,\!$ fois dérivables. On note $\mathcal^k(I,\R) \,\!$ le sous-ensemble de $\mathcal^k(I,\R) \,\!$ formé par les fonctions dont la $k \,\!$ -ième dérivée est continue, et on note $\mathcal^0(I,\R) \,\!$ l'ensemble des fonctions continues de $I \,\!$ vers $\R \,\!$ . Enfin on note $\mathcal^(I,\R) \,\!$ l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de $I \,\!$ vers $\R \,\!$ .

Ces ensembles sont des algebres sur $\R \,\!$ et on a la suite d'inclusions :

$\mathcal^0(I,\R) \supset \mathcal^1(I,\R) \supset \mathcal^1(I,\R) \supset \mathcal^2(I,\R) \supset \mathcal^2(I,\R) \supset \cdot\cdot\cdot \supset \mathcal^k(I,\R) \supset \mathcal^k(I,\R) \supset \mathcal^(I,\R) \supset \mathcal^(I,\R) \supset \cdot\cdot\cdot \supset \mathcal^(I,\R) \,\!$ .

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