Un article de Wikipedia.y-project.com.
Une fraction égyptienne est une somme de fractions unitaires, c'est-à-dire de fractions qui ont des numérateurs égaux à 1 et des dénominateurs entiers positifs, avec ces dénominateurs tous différents les uns des autres.
Il peut être montré que tous les nombres rationnels positifs peuvent être écrits sous cette forme et ce, d'une infinité de façons différentes.
En effet, il est trivial d'exprimer toutes fractions par une somme de fractions unitaires en se permettant de répéter les termes comme dans l'exemple : 2/5 = 1/5 + 1/5. Mais si l'on exige que tous les dénominateurs soient distincts, à l'instar des Égyptiens durant l'antiquité, cette représentation est toujours possible grâce à l'identité 1/a = 1/(a+1) + 1/[a(a+1)] que connaissait dès 1202 le grand mathématicien européen du Moyen Âge Leonardo Fibonacci.
Ainsi, en reprenant l'exemple ci-dessus : 2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30. En appliquant le même procédé à chacune des fractions unitaires, 2/5 peut donc s'exprimer comme une multitude de fractions égyptiennes.
On peut démontrer le même résultat en utilisant les séries harmoniques.
[] Les fractions dans l'Égypte antique
Cette propriété a permis aux anciens Égyptiens d'exprimer simplement tous les nombres rationnels.
N'importe quelle fraction que nous écrivons avec un numérateur non unitaire était écrite par les anciens Égyptiens comme une somme de fractions unitaires sans que deux de ces dénominateurs soient les mêmes.
Le hiéroglyphe en forme de bouche ouverte qui signifie partie était utilisé pour représenter le numérateur 1:
Les fractions étaient écrites avec ce hiéroglyphe dessus et le dénominateur en dessous. Ainsi 1/3 était écrit:
| <hiero>D21:Z1*Z1*Z1</hiero>
| <math>= \frac</math>
|
Il y avait des symboles spéciaux pour les fractions les plus courantes comme 1/2 et pour deux fractions non unitaire 2/3 et 3/4:
| <hiero>Aa13</hiero>
| <math>= \frac</math>
|
| <hiero>D22</hiero>
| <math>= \frac</math>
|
| <hiero>D23</hiero>
| <math>= \frac</math>
|
Si le dénominateur devenait trop large la "bouche" était placé juste au début du dénominateur:
| <hiero>D21:V1*V1*V1-V20*V20:V20*Z1</hiero>
| <math>= \frac</math>
|
Bien que d'usage peu commode, la représentation d'un nombre rationnel en fractions égyptiennes comme se l'imposaient les Égyptiens permet de déterminer immédiatement qu'une fraction est plus grande que l'autre.
Exemple:
- 55/84 = 1/2 + 1/7 + 1/84
- 7/11 = 1/2 + 1/8 + 1/88
Donc, le nombre rationnel 55/84 est clairement plus grand que 7/11 alors que ces deux nombres ne diffèrent entre eux que de 2% environ.
Le papyrus Rhind (environ 1650 av. J-C.) qui est conservé au British Museum de Londres, est le plus important document nous informant des connaissances mathématiques des temps anciens. Il comporte 87 problèmes résolus d'arithmétique, d'algèbre, de géométrie et d'arpentage.
Le problème numéro 24 est le suivant :
Un nombre ajouté à son septième donne 19, quel est ce nombre?
Sous forme symbolique moderne, la réponse est triviale: x + x/7 = 8x/7 = 19, soit x = 133/8.
Mais il y a 4000 ans, le calcul fractionnaire et le symbolisme algébrique n'étaient pas vraiment au point. En fait, le problème n'est alors pas dans la résolution même de l'équation mais dans la mise en équation et la difficulté d'aboutir, à défaut d'une démarche algébrique pratique, à la forme simple ax = b.
Pour cela les egyptiens utilisaient la méthode dite de la fausse position.
On appelle ainsi une méthode de résolution algébrique consistant à fournir une solution approchée (fausse) conduisant, par un algorithme approprié tirant parti de l'écart constaté, à la solution du problème considéré.
Dans notre exemple l'idée première est de se débarrasser du dénominateur gênant en choisissant 7 comme solution "approchée" (fausse position) : le scribe obtient 8 dans le calcul du nombre augmenté de son septième. Il utilise ensuite implicitement l'algorithme suivant (où x' = 7 et c = 8) :
Si ax = b et ax'= c alors ax/ax' = b/c soit x = x'(b/c)
C'est exactement ce qui est proposé dans le papyrus: on divise 19 par 8, ce qui fournit 2 + 1/4 + 1/8 et multiplie le tout par 7 = 1 + 2 + 4, ce qui fournit (2 + 1/4 + 1/8) + (4 + 1/2 + 1/4) + (9 + 1/2), soit 16 + 1/2 + 1/8.
[] Algorithme de construction moderne
Un algorithme permettant de construire une représentation par fraction égyptienne d'un nombre rationnel donné r=a/b, avec r compris entre 0 et 1, est l'algorithme glouton suivant, dû à James Joseph Sylvester :
- Trouver la plus grande fraction unitaire juste inférieure à r. Le dénominateur peut être trouvé en divisant b par a, en écartant le reste, et en additionnant un. S'il n'y a pas de reste, nous réussissons quand même car r est elle-même une fraction unitaire.
- Soustraire la fraction unitaire trouvée de r, puis recommencer l'étape précédente en utilisant cette valeur plus petite que r.
Exemple : convertir 19/20 en une fraction égyptienne.
- 20/19 = 1 avec un certain reste, donc notre première fraction unitaire est 1/2.
- 19/20 - 1/2 = 9/20.
- 20/9 = 2 avec un certain reste, donc notre deuxième fraction unitaire est 1/3.
- 9/20 - 1/3 = 7/60
- 60/7 = 8 avec un certain reste, donc notre troisième fraction unitaire est 1/9.
- 7/60 - 1/9 = 1/180 qui est elle-même une fraction unitaire.
Donc, notre résultat est
- <math>\frac = \frac+\frac+\frac+\frac</math>
Notez que cette représentation d'un nombre rationnel donné sous forme de fraction égyptienne n'est pas unique, et que l'algorithme donné plus haut ne produit pas la plus petite de ces représentations :
- <math>\frac = \frac+\frac+\frac</math>
Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction égyptienne
