Fraction_continue

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En mathématiques, une fraction continuée est une expression telle que

<math>x = a_0 + \cfrac{a_1 + \cfrac{a_2 + \cfrac}} </math>

où a₀ est un entier et tous les autres nombres a_n sont des entiers positifs. Les expressions plus longues sont définies de manière analogue. Si d'autres numérateurs que 1 sont autorisés, l'expression résultante est une fraction continuée généralisée.

Sommaire 1 Conflit de traduction 2 Motivation 3 Fragments d'histoire 4 Détermination 4.1 Calculs des représentations en fraction continuée 4.2 Notations pour les fractions continuées 4.3 Réduites 4.4 Fractions continuées finies 4.5 Fractions continuées infinies 4.5.1 Fractions continuées infinies et périodiques 4.5.2 Fractions continuées infinies non périodiques 5 Quelques théorèmes très utiles 6 Meilleure approximation fractionnaire 6.1 Le développement en fraction continuée de ? 7 Équation de Pell 8 Fractions continuées généralisées 9 Une visualisation par un pavage de rectangle 10 Voir aussi 11 Bibliogaphie 12 Liens externes

[] Conflit de traduction

Extrait de Abrégé d'histoire des mathématiques de Jean Dieudonné : Le terme traditionnel en français est « fraction continue », ce qui risque d'entraîner des confusions fâcheuses lorsque la fraction dépend d'un paramêtre variable ; l'anglais évite cette confusion en disant « continued » et non « continuous ».

Dans ce qui suit, nous adopterons ce point de vue.

[] Motivation

Les fractions continuées sont motivées par le désir d'avoir une représentation « mathématiquement pure » pour les nombres réels. La représentation la plus connue est, bien sûr, le développement décimal. Dans cette représentation, le nombre ?, par exemple, est représenté par la suite d'entiers {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}. Formellement, nous disons que la suite des entiers représentent le nombre réel r si

<math>r = \sum_^\infty a_i 10^</math>

où chaque a_i (excepté éventuellement a₀, qui peut être n'importe quel entier) est un élément de {0, 1, 2, ..., 9} et cette suite de possède pas de section finissante constante égale à 9. La dernière phrase signifie que 0.9999999... n'est pas la représentation décimale de 1 (dont la seule représentation décimale est 1.0000...)

Cette représentation est un peu problématique, néanmoins. Un des problèmes est l'apparition de la constante arbitraire 10 dans la formule ci-dessus. Pourquoi 10 ? Ceci à cause d'un accident biologique, sans lien avec les mathématiques? Un autre problème est que les fractions manquent parfois de représentations finies dans ce système. Par exemple, le nombre 1/3 est représenté par la suite infinie {0, 3, 3, 3, 3, ....}.

La notation en fraction continuée est une représentation pour les nombres réels qui évite ces deux problèmes. Considérons comment nous pourrions décrire un nombre comme 415/93, qui est arrondi à 4,4624. Ceci est approximativement 4. En réalité, il est légèrement plus grand que 4, environ 4 + 1/2. Mais le 2 du dénominateur n'est pas correct ; le dénominateur est légèrement plus que 2, environ 2 + 1/6, donc 415/93 est approximativement 4 + 1/(2 + 1/6). Mais le 6 du dénominateur n'est pas correct ; le dénominateur correct est légèrement plus que 6, en réalité 6+1/7. Donc 415/93 est en réalité 4+1/(2+1/(6+1/7)). Ceci est exact.

En rabaissant les parties répétées de l'expression 4+1/(2+1/(6+1/7)), nous obtenons la notation abrégée [4; 2, 6, 7].

La représentation en fraction continuée des nombres réels peut être définie de cette manière. Elle possède les propriétés désirées :

• La représentation en fraction continuée pour un nombre est finie si et seulement si le nombre est rationnel.
• Les représentations en fractions continuées pour les nombres rationnels « simples » sont courtes.
• La représentation en fraction continuée pour un nombre irrationnel est unique.
• La représentation en fraction continuée d'un nombre rationnel est presque unique : il existe exactement deux représentations pour chaque nombre rationnel, qui sont exactement les mêmes exceptée celle qui finit avec ...a, 1] et l'autre qui finit avec ...a+1].
• En tronquant en amont la représentation en fraction continuée d'un nombre x, nous obtenons une approximation rationnelle pour x qui est dans un certain sens l'approximation rationnelle la « meilleure possible » (voir ci-dessous pour une expression formelle).

La dernière propriété est extrêmement importante et n'est pas vraie pour la représentation décimale conventionnelle. Tronquer la représentation décimale d'un nombre donne une approximation rationnelle de ce nombre, mais généralement pas une très bonne approximation. Par exemple, tronquer 1/7 = 0,142857... à divers endroits donne des approximations telles que 142/1000, 14/100, et 1/10. Mais la meilleure approximation rationnelle est « 1/7 » lui-même. Tronquer la représentation décimale de ? donne des approximations telles que 31415/10000 et 314/100. La représentation en fraction continuée de ? commence par [3; 7, 15, 1, 292, ...]. Tronquer cette représentation donne les excellentes représentations rationnelles 3, 22/7, 333/106, 355/113... Les dénominateurs de 314/100 et 333/106 sont presque les mêmes, mais l'erreur dans l'approximation 314/100 est dix-neuf fois plus grande que l'erreur dans 333/106. Une approximation de ? telle que [3; 7, 15, 1] est précise à un millionnième.

Cependant, l'écriture en fraction continuée n'est compatible avec aucune opération de base sur les réels : connaître le développement de a et b ne permet pas de déterminer simplement celui de a + b, de ab ou de a/b. Ceci explique que le développement en fraction continuée est souvent une fin en soi et n'est pas une écriture du nombre exploitable en dehors de la recherche de meilleures approximations.

[] Fragments d'histoire

L'écriture en fraction continuée fait partie de la théorie des approximations diophantiennes consistant à approcher des quantités par des fractions. On trouve un usage des fractions continuées dès le VI^e siècle chez le mathématicien indien Âryabhata qui les utilise pour résoudre des équations diophantiennes. Au XVI^e siècle on les retrouve chez Rafael Bombelli pour l'extraction d'une racine carrée. Pietro Antonio Cataldi les étudie lorsqu'il cherche à extraire des racines carrées, c'est lui qui remarque que les approximations obtenues sont alternativement supérieures et inférieures à la racine carrée cherchée. On les retrouve ensuite au XVII^e siècle chez John Wallis qui leur donne le nom de continue fractum (Arithmetica infinitorum 1655), chez Christiaan Huygens qui les utilise pour construire les engrenages d'horloges astronomiques, chez William Brouncker qui est le premier à proposer le développement de 4 / ? en fraction continuée généralisée. Leonhard Euler démontre que si le développement est périodique, le nombre de départ est quadratique, mais c'est à Adrien-Marie Legendre que l'on en doit la réciproque. Johann Heinrich Lambert utilise la fraction continuée généralisée de <math>\tan(x)</math> pour prouver que si <math>\tan(x)</math> est rationnel alors <math>x</math> est irrationnel et prouve ainsi que <math>\pi</math> est irrationnel ( <math>\tan(\pi/4) = 1</math> ). Joseph Liouville utilise le développement en fraction continuée généralisée pour exhiber des nombres non algébriques, c'est à dire transcendants. Ce sont les nombres de Liouville. Grâce à lui, Ferdinand von Lindemann prouve en 1882 que <math>\pi</math> est transcendant et démontre par la même que la quadrature du cercle est impossible à réaliser. En utilisant lui aussi les fractions continuées, Charles Hermite prouve la transcendance de e, base du logarithme néperien. George Cantor prouve que <math>[0;1]</math> et <math>[0 ; 1]^2</math> sont en bijection à l'aide des fractions continuées.

[] Détermination

[] Calculs des représentations en fraction continuée

Considérons un nombre réel r compris entre 0 et 1. Soit i la partie entière et f la partie fractionnaire de 1/r. Alors la représentation en fraction continuée de r est [0, i, ...], où « ... » est la représentation en fraction continuée de 1/f.

Si r n'est pas compris entre 0 et 1, alors il est de la forme i + f, où i est un entier et f est compris entre 0 et 1 ; alors r est représenté par [i, ...] où « ... » est la représentation en fraction continuée de 1/f.

Pour calculer une représentation en fraction continuée d'un nombre r, chercher la partie entière de r. Soustraire cette valeur de r. Si la différence est 0, la procédure s'arrête ; autrement prendre l'inverse de la différence et répéter l'algorithme. L'algorithme s'arrêtera si et seulement si r est rationnel.

[] Notations pour les fractions continuées

On peut abréger une fraction continuée comme cela

<math>x = [a_0, a_1, a_2, a_3] \;</math>

ou dans la notation de Pringsheim, utile en particulier pour les fractions continuées généralisées

<math>x = a_0 + \frac{1 \mid}{\mid a_1} + \frac{1 \mid}{\mid a_2} + \frac{1 \mid}{\mid a_3} </math>

ou une autre notation utilisée plus rarement, similaire à celle ci-dessus

<math>x = a_0 +

 {1 \over a_1 + } {1 \over a_2 +} {1 \over a_3 +} </math>

On peut aussi définir les fractions continuées infinies comme des limites :

<math>[a_, a_, a_, a_, \,\ldots ] = \lim_{n \to \infty} [a_, a_, a_, \,\ldots, a_] </math>

Cette limite existe pour n'importe quel choix d'entiers positifs a₁, a₂, a₃ ...

[] Réduites

Dans la fraction continuée finie ou infinie, <math>x =[a_, a_, a_, \,\ldots, a_, \ldots, a_p]</math> ou <math>x = [a_, a_, a_, a_, \,\ldots ]</math>, on appelle réduite de rang <math>n\,</math> la fraction continue <math>[a_, a_, a_, \,\ldots, a_]</math>. On démontre que les réduites sont les meilleures approximations fractionnaires (voir définition plus loin) de x.

Les réduites successives sont données par la formule de récurrence suivante

Réduite de rang 0 = <math>\frac=\frac</math>

Réduite de rang 1 = <math> \frac=\frac</math>

Réduite de rang n = <math>

\frac= \frac+h_}+k_}. </math>

On démontre que toutes les réduites de rang pair sont inférieures à <math>x\,</math> et celle de rang impair lui sont supérieures

[] Fractions continuées finies

Pour les fractions continuées finies, notons que

<math>[a_, a_, a_, a_, \,\ldots ,a_, 1]=[a_, a_, a_, a_, \,\ldots ,a_ + 1] \;</math>

Donc, pour chaque fraction continuée finie, il existe une autre fraction continuée finie qui représente le même nombre, par exemple

<math> [2, 3, 1] = [2, 4] = 9/4 = 2,25 \;</math>

Chaque fraction continuée finie est un rationnel, et chaque nombre rationnel peut être représenté en précisément deux manières différentes sous forme de fraction continuée finie (dans une représentation le terme final dans la fraction continuée est 1 ; dans l'autre, plus courte, le terme final est plus grand que 1). C'est pourquoi, en général, pour conserver l'unicité, on impose que le dernier terme du développement soit supérieur à 1.

Une écriture pratique permet de calculer facilement ces fractions continuées finies.

Fraction continuée de 233/117 :

                      233 |177
                 177 | 56 +???
             56 |  9 +??? |  1
        9  |  2 +??? |  3
      | 1  +??? |  6
   2  +??? |  4
   0  | 2

d'où :

<math> \frac = [1,3,6,4,2] = [1,3,6,4,1,1]\;</math>

Cette méthode consiste à appliquer l'algorithme d'Euclide. Le développement est alors obtenu en prenant la liste des quotients successifs dans cet algorithme.

Le développement en fraction continuée de son inverse 117/233 est :

                           177 | 233
                      233 |177 +????
                 177 | 56 +??? |   0
             56 |  9 +??? |  1
        9  |  2 +??? |  3
      | 1  +??? |  6
   2  +??? |  4
   0  | 2

d'où :

<math> \frac = [0,1,3,6,4,2] = [0,1,3,6,4,1,1]\;</math>

Ce cas particulier se généralise, en effet si :

<math>\frac = [a_,a_,a_,a_,\ldots,a_]</math> avec <math>q \ne 0\;</math> et <math>p>q\;</math>, alors

<math>\frac = [0,a_,a_,a_,a_,\ldots,a_]</math>

[] Fractions continuées infinies

Chaque fraction continuée infinie est irrationnellle, et chaque nombre irrationnel peut être représenté en précisément une seule manière sous forme d'une fraction continuée infinie. Une représentation en fraction continuée infinie pour les nombres irrationnels est très utile principalement parce que les parties initiales fournissent d'excellentes approximations rationnelles du nombre.

[] Fractions continuées infinies et périodiques

Certains irrationnels possèdent un développement en fraction continuée périodique (périodique pur) ou périodique à partir d'un certain rang <math>a_n\,</math>. On démontre qu'un irrationnel possède un développement en fraction continuée périodique si et seulement si cet irrationnel est un irrationnel quadratique. Par définition un irrationnel quadratique est de la forme <math>\frac{A \pm \sqrt B}</math> avec <math>(A,C)\in \mathbb Z\times\mathbb Z^*,\,B \in \mathbb N^*</math> non carré parfait. A partir d'un certain terme <math>a_n\,</math>, le développement en fraction continuée peut être périodique ou périodique pur si cette période s'applique dès le premier terme. La notation <math>\overline,a_,\ldots}</math> permet d'exprimer cette période à partir du terme <math>a_n\,</math>.

• Exemples:
  • Le nombre d'or <math>\varphi\,\!= \frac{1 + \sqrt} = [1,1,1,1,1,\ldots] = [\overline]</math> (périodique pur)
  • <math>\sqrt = [1,2,2,2,2,\ldots] = [1, \overline]</math>
  • <math>\frac{1+\sqrt } = [1,2,1,1,2,1,\ldots] = [\overline]</math> (périodique pur)
  • <math>\sqrt = [3,3,6,3,6,\ldots] = [3, \overline]</math>
  • <math>\sqrt = [4,1,3,1,8,1,3,1,8\ldots] = [4, \overline]</math>
  • <math>\sqrt = [5,3,2,3,10,3,2,3,10,\ldots] = [5, \overline]</math>

On démontre d'une manière générale que si <math>N\,</math> n'est pas un carré parfait, le développement en fraction continuée de sa racine carrée est périodique à partir du deuxième rang, ce développement n'est donc pas périodique pur, et que le dernier terme de la période est égal au double de la partie entière de <math>\sqrt N</math>; soit avec les notations indiquées :

<math>\sqrt N = [a_0, \overline]</math>

De plus, si l'on élimine le dernier terme <math>2a_0\,</math>, la période est symétrique. La partie symétrique pouvant ou non avoir un terme médian, si bien que :

<math>\sqrt N = [a_0, \overline]</math>

[] Fractions continuées infinies non périodiques

Elles regroupent l'ensemble de tous les irrationnels non quadratiques. En particulier, il n'est pas possible de prévoir le développement en fractions continuées d'un irrationnel algébrique d'ordre supérieur à 2.

Certaines fractions continuées ont des comportements prévisibles: c'est le cas par exemple des puissances de e, la base des logarithmes naturels :

• <math> e \;</math> = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...] = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ..., 1, 2n, 1, 1, 2(n+1), 1, ...] avec <math> n \in \mathbb N^* </math>
• <math> \sqrt </math> = [1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 13, 1, 1, 17, ...] = [1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 9, 1, 1, 13, ..., 1, 4n+1, 1, 1, 4(n+1)+1, 1, ...] avec <math> n \in \mathbb N </math>

ou de la constante hyperbolique :

• <math>\tanh(\frac) = \frac} - e^}}} + e^}}</math> = [0, 2, 6, 10, 14, ...] = [0; 2, 6, 10, ..., 2(2n-1), 2(2n+1), ...] avec <math> n \in \mathbb N^* </math>

D'autres constantes mathématiques demandent un calcul, quotient par quotient. C'est le cas de ? = [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...].

De plus, Khinchin a démontré que pour presque tous les nombres réels x, les a_i (pour i = 1,2,3...) ont des propriétés surprenantes : leur moyenne géométrique est une constante (connue comme la constante de Khinchin, K ? 2,6854520010...) indépendante de la valeur de x. Le terme presque tous signifie que cette propriété est valable sur <math>\R - E</math> où <math>E\,</math> est un ensemble de mesure nulle contenant entre autres, tous les rationnels et tous les nombres quadratiques.

Paul Lévy a montré que la nième racine du dénominateur de la nième réduite d'un développement en fraction continuée de presque tous les nombres réels approche une limite asymptotique, qui est connue comme la constante de Lévy.

[] Quelques théorèmes très utiles

Si a₀, a₁, a₂, ... est une suite infinie d'entiers positifs, définissons les suites <math>h_n</math> et <math>k_n</math> récursivement :

<math>h_=0,\ h_=1,\ h_=a_ih_+h_</math>

<math>k_=1,\ k_=0,\ k_=a_ik_+k_</math>

et appelons <math>x_n\,</math> le réel <math>[a_n,a_, \cdots]</math>

Théorème 1

Pour tout <math>y\in\mathbb</math> positif

<math>\left[a_0, a_1, \,\dots, a_, y \right]= \frac{y h_+h_}

    {y k_+k_}</math>

Théorème 2

Les réduites de [a₀, a₁, a₂, ...] sont données par

<math>\left[a_0, a_1, \,\dots, a_n\right]=\frac </math>

Théorème 3

Pour tout entier <math>n \geq 1\,</math>, <math>k_nh_-k_h_n=(-1)^n\,\!</math>

Corollaire 1 : <math>\frac </math> est donc l'écriture en fraction irréductible de la nième réduite (en effet, tout diviseur commun à <math>h_n\,\!</math> et <math>k_n\,\!

</math> doit diviser <math>k_nh_-k_h_n=(-1)^n\,\!</math> donc doit diviser 1; ce qui assure que <math>h_n\,\!</math> et <math>k_n\,\!</math> sont premiers entre eux).

Corollaire 2 : La différence entre deux réduites successives est une fraction dont le numérateur est l'unité :

<math>

\left|\frac-\frac}} \right|= \left|\frac-k_nh_}}\right|= \frac} </math>

Corollaire 3 : La suite des réduites de rang pair et celle de rang impairs définissent deux suites adjacentes convergeant vers <math>x = [a_0,a_1,a_2,\cdots]</math>

Corollaire 4 : <math>x\,</math> est la limite de la série alternée <math>x = a_0 + \sum_^\frac}</math>

Théorème 4

Pour tout entier <math>n\,</math>, <math>x - \frac= \frac + x_k_n)}</math> où <math>x_n = [a_n,a_,\cdots]</math>

Corollaire 1 : <math>

\frac+k_n)}< \left|x-\frac\right|< \frac} </math> (il suffit de remarquer que <math>a_ < x_ < a_+1\,</math>)

Corollaire 2 : N'importe quelle réduite qui précède immédiatement un grand quotient est une approximation proche de la fraction continuée (en effet, si <math>x_\,</math> est très grand la différence <math>\left|x - \frac\right|</math> est petite)

Théorème 5

• • Pour tout entier <math>n\,</math>, <math>\left|x - \frac\right|<\frac </math>
  • Sur deux réduites consécutives, il en existe une qui vérifie <math>\left|x - \frac\right|<\frac </math>
  • Sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie <math>\left|x - \frac\right|<\frack_n^2} </math>
  • Si <math>\left|x - \frac\right|<\frac </math> alors <math>\frac</math> est une réduite de <math>x\,</math>

[] Meilleure approximation fractionnaire

Si <math>x\,</math> est un réel, on dit que <math>h \over k</math> est une meilleure approximation fractionnaire de x si

pour toute fraction <math>p \over q</math>, de dénominateur inférieur ou égal à <math>k\,</math>, on a

<math>|xq - p| \geq |xk-h|</math>

avec égalité seulement pour <math>p = h\,</math> et <math>q = k\,</math>

On démontre alors que, dans ce sens, les réduites successives représentent toutes les meilleures approximations de <math>x\,</math>.

[] Le développement en fraction continuée de ?

Pour illustrer plus précisement nos propos, étudions les réduites de ?. Fixons a₀ = [?] = 3 (où [x] indique la partie entière de x), définissons u₁ = 1/(? - 3) ? 113/16 = 7,0625 et a₁ = [u₁] = 7, u₂ = 1/(u₁ - 7) ? 31993/2000 = 15,9965 et a₂ = [u₂] = 15, u₃ = 1/(u₂ - 15) ? 1003/1000 = 1,003. En continuant comme cela, on peut déterminer la fraction continuée infinie de ? : [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...].

Les réduites successives de ? sont alors (en utilisant la formule de récurrence)

• <math>3\,</math>
• <math>{3\times7 + 1 \over 1\times 7 + 0}={22 \over 7}</math>
• <math>{22 \times 15 + 3\over 7 \times 15 + 1}={333 \over 106}</math>
• <math>{333 \times 1 + 22\over 106 \times 1 + 7}={355 \over 113}</math>

La quatrième réduite de ? est donc [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,14159292035... qui est raisonnablement proche de la vraie valeur de ?. On pouvait si attendre car le quotient suivant est un très grand nombre (voir corrolaire 2 du théorème 4)

Ces réduites sont alternativement plus petites et plus grandes que la vraie valeur de ?, et s'en approchent de plus en plus. La différence entre une réduite donnée et sa limite est inférieure à l'inverse du produit des dénominateurs de cette réduite et de la réduite suivante. Par exemple, la fraction 22/7 est plus grand que ?, mais 22/7 - ? est inférieur à 1/(7x106), donc 1/742 (en fait, 22/7 - ? est juste inférieur à 1/790).

On ne peut améliorer aucune de ces approximations en prenant un dénominateur plus petit, quel que soit le numérateur : ainsi, toute fraction construite avec un dénominateur plus petit que 113 sera plus éloignée de ? que 355/113. Cette propriété est générique à toutes fraction continuée.

Il est à noter que la définition de meilleure approximation fractionnaire ne correspond pas à notre idée intuitive de fraction la plus proche de x. Par exemple 311/99 est plus proche de ? que ne l'est 22/7 , cependant, selon la définition précitée, ce n'est pas une meilleure approximation car <math>|99\pi - 311| > |7\pi - 22|</math>. La première fraction meilleure que 22/7 restera donc 333/106.

La démonstration des propriétés antérieures est déduite du fait que si nous cherchons la différence entre une des fractions convergentes et son adjacente suivante, nous obtiendrons une fraction dans laquelle le numérateur est toujours l'unité et le dénominateur le produit des deux dénominateurs. Donc la différence entre 22/7 et 3/1 est 1/7, par excès ; entre 333/106 et 22/7, 1/742, par défaut ; entre 355/113 et 333/106, 1/11978, par excès ; et ainsi de suite. En employant cette série de différences, nous pouvons exprimer, d'une manière très simple, les fractions dont nous nous occupons ici, à l'aide d'une deuxième série de fractions dans laquelle les numérateurs sont tous l'unité et les dénominateurs successivement le produit de chaque dénominateurs deux fois adjacents. À la place des fractions écrites ci-dessus, nous avons donc les séries :

<math>\frac+\frac{1 \cdot 7}-\frac{7 \cdot 106}+\frac{106 \cdot 113} \cdots </math>

Le premier terme, comme nous le voyons, est la première fraction ; le premier et le deuxième ensemble donne la deuxième fraction, 22/7 ; le premier, le deuxième et le troisième donne la troisième fraction 333/106, et ainsi de suite avec le reste ; le résultat de la série entière est équivalent à la valeur originale.

[] Équation de Pell

Les fractions continuées jouent un rôle essentiel dans la résolution des équations de Pell - ainsi nommées par Euler ; ces équations sont aussi dites "de Pell-Fermat". Nous pouvons par exemple étudier la relation entre la fraction continuée de <math>\sqrt</math> et l'équation de Pell <math>q^2 - 2p^2 = \pm1\;</math>.

Pour cela, étudions le comportement de la suite <math>(r_n)\;</math> définie par:

<math>r_n=\frac \mbox{ ou }\left\p_n\;=\;p_+q_ \mbox{ et } p_0=1 \\ \quad q_n\;=\;2\cdot p_+q_ \mbox{ et } q_0=1 \end\right.</math>

Démontrons alors par récurrence que les suites <math>(p_n)\;</math> et <math>(q_n)\;</math> vérifient l'équation de Pell. Cette propriété étant évidente pour n = 0, prouvons la pour n en la supposant vrai pour n-1.

<math> q_n^2-2p_n^2=4p_^2+4p_^2p_+q_^2-2p_^2-4p_^2q_^2-2q_^2\;</math>

et donc

<math> q_n^2-2p_n^2=2p_^2-q_^2=-(q_^2-2p_^2) </math>

Il suffit alors de remarquer que la suite <math>(q_n)\;</math> est divergente pour montrer que la suite <math>(r_n)\;</math> converge vers <math>\sqrt</math> .

Après avoir trouvé des solutions à l'équation de Pell, les autres se déduisent immédiatement des suites <math>(p_n)\;</math> et <math>(q_n)\;</math>, montrons que cette approche nous donne une fraction continuée de <math>\sqrt</math>. Un petit calcul sur les suites <math>(p_n)\;</math> et <math>(q_n)\;</math>nous montre que:

<math>r_n=\frac+2}+1}=1+\frac-1)} \quad\mbox{ et }\quad r_n-1=\frac-1)} </math>

On en déduit par passage à la limite que:

<math>\sqrt=1+\frac}\;</math>

La recherche d'une fraction continuée nous a permis de résoudre l'équation de Pell.

[] Fractions continuées généralisées

Historiquement, les fractions continuées généralisées sont apparues avant les fractions continuées décrites jusqu'à present. La première fraction généralisée est celle trouvée par William Brouncker représentant 4 / ? .

Ces fractions continues généralisées sont une expression de la forme

<math>a_0 + \cfrac{a_1 + \cfrac{a_2 + \cfrac}}</math>

où les <math>a_i</math> et <math>b_i</math> peuvent être des nombres réels, complexes et même des fonctions d'une ou plusieurs variables.

Exemples :

• <math>\frac = 1+\cfrac}}}</math>

(formule trouvée par William Brouncker)

• <math>\tan = \cfrac{1 - \cfrac{3 - \cfrac{5 - \cfrac}}}</math>

(formule avec laquelle le mathématicien Johann Heinrich Lambert démontra que ? est irrationnel)

• <math>\frac = 1 + \cfrac{1 + \cfrac{1/2 + \cfrac{1/3+\,\cdots+ \cfrac}}}</math>

(où <math>a_0=1</math> et <math>(a_n,\,b_n)=(1/n,\,1)</math> quand <math>n>0</math>)

Les fractions continuées généralisées ont des propriétés moins riches que les fractions continuées et sont plus difficiles à manipuler. Il apparaît notamment des problèmes de convergence du fait que les réduites peuvent ne pas être des fractions irréductibles.

[] Une visualisation par un pavage de rectangle

Un moyen simple de comprendre et visualiser une fraction continuée consiste à imaginer un rectangle de dimension <math>L \times l\,</math> tel que <math>{L \over l} = x</math> et de paver le rectangle par des carrés de côté <math>l\,</math>.

Si <math>x</math> est entier alors le pavage comporte exactement x carrés

Sinon, il reste une bande de dimension <math>l \times l_1\,</math>, que l'on cherche alors à paver avec des carrés de côté <math>l_1</math> et ainsi de suite.

Si x est rationnel - Euclide aurait dit : si L et l sont des longueurs commensurables - alors le processus va s'arrêter et il existe une unité de longueur <math>l_n</math> qui permet de mesurer <math>L</math> et <math>l</math>. Le nombre de carrés de chaque taille donne alors la suite des entiers du développement en fraction continuée.

Ainsi, dans l'image ci-contre, on pave le rectangle 30 x 13 par deux carrés de côtés 13, la bande restante de largeur 4 est pavée de 3 carrés de côté 4, et la bande restante de largeur 1 est pavée de 4 carrés de côté 1.

De plus la présentation du pavage pour un rationnel donne un moyen rapide de le déterminer, puisque l'on connait l'unité de longueur permettant de mesurer L et l.

Ainsi dans l'image ci-contre on peut retrouver le rationnel dont le développement est [1 , 1 , 2, 3]. Les trois petits carrés donnent la taille du carré suivant (3). Les deux carrés moyens et le petit carré donnent la taille du carré plus grand (7), le carré plus grand et le carré moyen donnent le dernier carré (10) et les deux derniers carrés donne la longueur du rectangle (17)

Si <math>x</math> n'est pas rationnel - Euclide aurait dit : si L et l sont des longueurs non commensurables, le processus se déroule à l'infini.

C'est le cas par exemple dans un rectangle d'or, pour <math>x = \varphi</math> (nombre d'or) où l'on remarque que l'on ne peut placer qu'un carré dans chaque bande et confirme que <math>\varphi = [1 , 1 , 1 , \cdots]</math>

Image:Fractioncontinue3.png

[] Voir aussi

[] Bibliogaphie

• Jean-Paul Delahaye ; Le fascinant nombre ? (Pour La Science, Belin, 1997 - ISBN 2-9029-1825-9)
• Marc Guinot ; "Lagrange et Legendre", éd. Aléas, 1996.
• A. Ya. Khinchin ; Continued Fractions; University of Chicago Press.
• Jean Trignan ; Fractions continues & Différences finies, Editions du Choix, 1994, ISBN 2-909028-16-X
• Bulletin de l'APMEP n° 450

[] Liens externes

• (en) Un calculateur en ligne de fraction continuée
• développement d'un réel en fractions continues de M. Couchouron pour les développements périodiques et l'équation de Pell-Fermat
• constante de Khinchin + propriétés sur les fractions périodiques
• Une démonstration pour la meilleure approximation
• Histoire de fractions continues de Claude BREZINSKI

 
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction continue