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En mathématiques, une fonction rationnelle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans un corps K. En pratique, ce corps est généralement <math>\R</math> (corps des réels) ou <math>\mathbb C</math> (corps des complexes). Si P et Q sont deux fonctions polynômes et si Q n'est pas une fonction nulle, la fonction <math>f = \frac</math> est définie pour tout x tel que <math> Q(x) \ne 0</math> par
- <math>f(x) = \frac</math>
[] Domaine de définition
Tout fonction polynôme non-nul Q est acceptable mais la possibilité que pour un a donné
- Q(a) = 0
implique que contrairement aux fonctions polynômes, les fonctions rationnelles n'ont pas un domaine de définition toujours égal à K.
Les racines du polynôme Q sont appelées
pôles de la fonction rationnelle.
Exemple : si on prend
- <math>f(x) = \frac{x^2 + 1}</math>
cette fonction est définie pour tout nombre réel x mais elle ne l'est pas pour tous les nombres complexes. Le dénominateur est 0 quand x = i et quand x = ?i, où i est défini comme la racine carrée de ?1.
[] Utilisations
Les fonctions rationnelles sont utilisées en analyse numérique pour faire l'interpolation et le lissage de fonctions. L'approximation est bien adaptée aux logiciels d'algèbre symbolique et de calculs numériques car tout comme les polynômes, elle peuvent être évaluées efficacement tout en étant plus expressives que les polynômes.
[] Décomposition en éléments simples
[] Application de la décomposition en éléments simples
[] Ne pas confondre
Au point de vue mathématique, il faut distinguer le polynôme qui est d'abord une expression formelle et la fonction polynôme sur un domaine donné. Ceci est également vrai pour les quotients de polynômes. En algèbre abstraite, on appelle fraction rationnelle un élément du corps des fractions d'un anneau de polynômes. Pour poser cette définition, on doit partir d'un domaine d'intégrité (anneau commutatif unitaire intègre) R puis construire
- R[X, Y,..., T],
l'anneau des polynômes en X, Y,..., T. Cet anneau sera aussi un domaine d'intégrité. Il est alors possible de construire le corps des fractions de cet ensemble appelé ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans R et d'indéterminées X, Y ,... T
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction rationnelle
