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George Cantor, en mettant en place la théorie axiomatique des ensembles, définit les cardinaux des ensembles infinis, qu'il appela alors nombres transfinis, dans le but de comparer les differents infinis. Au fur et à mesure de la formation de sa théorie, il en vint à comparer les cardinaux de <math>\mathbb</math>, qui correspond au dénombrable, et de <math>\mathbb</math>, qui correspond au continu. Ainsi, au travers de son hypothèse sur le continu, Cantor « hiérarchisa » ces différents transfinis, mais, n'arrivant pas à démontrer son hypothèse, il faudra attendre 1960 pour apprendre qu'elle fait partie des indécidables de la théorie des ensembles. Montrant par ailleurs l'importance que les mathématiciens lui vouent, elle figure en tête de la liste des 23 problèmes de Hilbert.
[] Définition de l'hypothèse du continu
On définit <math>\aleph_0</math> (aleph zéro) comme le cardinal de <math>\mathbb</math>. Soit <math>\aleph</math> le cardinal de <math>\mathbb</math> noté usuellement <math>2^</math>.
Soit <math>\aleph_1</math> le plus petit cardinal strictement supérieur à <math>\aleph_0</math>, l'hypothèse du continu déclare que
<math>2^ = \aleph_1</math> .
En d'autres termes, cela signifie qu'il n'existe pas d'ensemble infini dont le cardinal serait strictement compris entre le cardinal de <math>\mathbb</math> et celui de <math>\mathbb</math>. On passe donc du dénombrable (ou discret), au continu, en faisant un seul bond.
[] Indécidabilité de l'hypothèse du continu
[] Travaux de Gödel
Kurt Gödel a montré en 1938 que l'ajout de l'hypothèse du continu à la théorie des ensembles, défini par exemple par les axiomes de Zermelo-Fraenkel, ne changeait nullement la consistance de cette théorie, même si on l'augmente de l'axiome du choix.
[] Travaux de Cohen
Enfin, Paul Cohen a montré en 1963 que l'hypothèse du continu était un indécidable de la théorie des ensembles basés sur les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Elle est donc indépendante de la théorie des ensembles.
Commencée il y a une trentaine d'années, la recherche d'axiomes « naturels » à ajouter à la théorie de Zermelo-Fraenkel (axiomes de détermination, axiomes de grands cardinaux, etc.) va sans doute permettre, grâce aux travaux de Woodin, de résoudre prochainement l'hypothèse du continu... par la négative, ce que soupçonnait déjà Gödel.
[] Généralisation de l'hypothèse du continu
L'hypothèse généralisée du continu déclare qu'il n'existe pas d'ensemble dont le cardinal serait strictement compris entre <math>\aleph_\alpha</math> et <math>2^</math>, <math>\alpha</math> parcourant les ordinaux et <math>2^</math> étant le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble de cardinal <math>\aleph</math>.
On aurait alors <math>2^ = \aleph_{\alpha + 1}</math> : il n'y aurait rien entre un cardinal et l'ensemble de ses parties, à bijection près. Cette hypothèse est aussi un indécidable d'après les travaux de Gödel et Cohen.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Hypothèse du continu
