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En mathématiques, on appelle identités remarquables certaines égalités vraies dans tout anneau commutatif (c'est-à-dire abélien) (qui doit parfois être unitaire), donc en particulier dans l'ensemble des entiers relatifs, dans l'ensemble des réels, dans l'ensemble des nombres complexes, ou dans des anneaux de polynômes. Elles servent en général à accélérer les calculs, à simplifier certaines écritures, à factoriser ou à développer des expressions.
On peut citer les plus connues, valables dans un anneau commutatif unitaire A, pour tout couple (a,b) d'éléments de A et pour tout entier n :
- <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\,</math>
- <math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\,</math>
- <math>(a-b)(a+b) = a^2 - b^2\,</math> Différence de carrés
- <math>(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\,</math>
- <math>(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\,</math>
- <math>a^3 + b^3 = (a + b) (a^2 - ab + b^2)\,</math>
- <math>a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)\,</math>
Qui se généralise en :
- <math>(a-b)\sum_^a^ib^ = a^ - b^</math>
- <math>(a+b)^n = \sum_^C_n^ia^ib^</math> qui porte le nom de formule du binôme
Notation : dans les formules ci-dessus les C sont les coefficients binomiaux <math>C_n^i=\frac = {n \choose i}</math> où k! désigne la factorielle de k.
[] Voir aussi
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Identité remarquable
