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La méthode de Bezout, imaginée et mise au point par Étienne Bézout en 1762, est une méthode générale de résolution des équations algébriques.
Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degré moins élevées. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degrés supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.
Cette méthode, fastidieuse pour les équations de degré supérieur ou égal à 4, n'a un intérêt concret que pour les équations de degré 3.
[] Principe de la méthode
Considérons une équation de degré n :
<math> \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>
Soit r une racine n-ème primaire de l'unité.
Nous savons que les n racines n-ème de l'unité 1, r, r2,..., rn-1 vérifie la relation :
<math> \qquad 1 + r + r^2 + \cdots + r^ = 0 </math>
La méthode de Bezout consiste à rechercher les racines de l'équation étudiée sous forme de combinaisons linéaires des racines n-ème de l'unité.
<math> \qquad x = b_0 + b_1r + b_2r^2 + \cdots + b_r^ </math>
Pour cela, on commence par éliminer r entre les deux relations :
<math> \qquad 1 + r + r^2 + \cdots + r^ = 0 </math>
<math> \qquad x = b_0 + b_1r + b_2r^2 + \cdots + b_r^ </math>
Ce qui nous donne une équation de degrés n en x dont les coefficient sont des expressions dépendant de b0, b1, b2,...,bn. En identifiant les coefficients de cette équation avec les coefficients correspondant de l'équation à résoudre, on obtient un système d'équations d'inconnues b0, b1, b2,...,bn qui après résolution et repport des différentes solutions dans :
<math> \qquad x = b_0 + b_1r + b_2r^2 + \cdots + b_r^ </math>
nous donnera les solutions de l'équation que l'on s'était donné de résoudre.
[] Autres méthodes de résolution d'équations
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode de Bézout
