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La méthode de Descartes dite par coefficients indéterminés permet de résoudre les équations du second, mais surtout du quatrième degré.
René Descartes utilise pour ceci la factorisation des polynômes de degré N sous la forme <math>(x - x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)</math> avec <math>x_1, \cdots, x_n</math> les n racines réelles ou complexes (voir Théorème de d'Alembert-Gauss) qu'il est alors l'un des premiers mathématiciens à maîtriser.
Pour résoudre le second degré, on part alors de la relation parfois dite de François Viète que l'on obtient en développant :
- <math>x_1 + x_2 = - \frac ba</math>
- <math>x_1x_2 = \frac ca</math>
On pose alors
- <math>x_1 = -\frac{2a } + p</math>
- <math>x_2 = -\frac -p</math>
avec p une quantité réelle que l'on va chercher à déterminer dans l'autre relation.
Cette astuce est très importante : lorsqu'on a une somme de deux nombres A et B valant un réel C, on peut toujours écrire A comme la somme de la moitié de C et d'une certaine quantité; B, pour maintenir l'égalité A + B = C, vaudra forcément la moitié de C moins cette quantité.
On arrive alors à
- <math>(-\frac{2a } + p)(-\frac{2a } - p) = \frac ca</math>
ce qui amène par simple développement à p, puis aux deux racines, dont la formule est célèbre!
Cette méthode sert plus particulièrement à résoudre les équations du quatrième degré; il faut d'abord voir le polynôme
- <math>X^4 + AX^2 + BX + C</math>
( auquel on s'est ramené par division par le coefficient de X puis une translation algébrique qui supprime le X à la puissance 3, voir les articles sur la Méthode de Ferrari et la Méthode de Cardan pour plus d'informations ) comme le produit de deux polynômes du second degré, et non pas comme le produit de quatre polynômes du premier degré ; les coefficients doivent être trouvés de sorte qu'en développant, on trouve bien les coefficients A, B, et C
On pose donc
- <math>( X^2 + aX +b )( X^2 -aX +c ) = X^4 + AX^2 + BX + C</math>
Ceci amène à un système traitable, le lecteur pourra vérifier en développant :
- <math>
\begin
b+c = a^2+ A & (1)\\
a(c - b)= B & (2)\\
bc = C & (3)
\end</math>
Le but étant ensuite de n'avoir plus qu'à résoudre deux équations du second degré pour sortir les quatre racines !
Ici, on pose
- <math> b = \frac 12( a^2 + A + p )</math>
on appelle par convention la quantité indéterminée <math>\frac 12 p</math> pour simplifier les calculs. On la détermine dans l'expression (2) : le lecteur pourra vérifier que
- <math>p = - \frac Ba</math>
dans la dernière expression, on exprime b et c entièrement en fonction de a, ce qui aboutit à une équation dite résolvante, en développant un peu :
- <math>a^6 + 2Aa^4 + (A^2 - 4C)a^2 - B^2 = 0</math>
qui, en posant <math>z = a^2</math>, se ramène à un équation du troisième degré, la formule de Cardan donne donc à tous les coups un réel solution dont la racine carré vaudra a :
- <math>z^3 + 2Az^2 + (A^2-4C)z-B^2 = 0</math>
b et c se trouvent facilement avec les relations ci-dessus et au final, on trouvera des formules équivalentes à celles de Ferrari.
À titre d'entraînement, le lecteur pourra résoudre l'équation
- <math>x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4x - 10 = 0</math>
[] Autres méthodes de résolution d'équations
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode de Descartes
