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La méthode de Ferrari imaginée et mise au point par Ludovico Ferrari permet de résoudre les équations du quatrième degré.
[] Principe de la méthode
Considérons l'équation générale du quatrième degré suivante :
<math> \qquad a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>
En posant
<math> \qquad x = z - \frac</math>
on se ramène à une équation de la forme :
<math> \qquad z^4 + p z^2 + q z+ r = 0</math>
Equation qui s'écrit :
<math> \qquad z^4 + r = - p z^2 - q z </math>
Ajoutons
<math> \qquad 2z^2\sqrt</math>
aux deux membres. On obtient :
<math> \qquad z^4 + 2z^2\sqrt + r =2z^2\sqrt - p z^2 - q z </math>
Nous remarquons alors que le premier membre s'écrit sous forme de carré :
<math> \qquad (z^2 + \sqrt)^2 =2z^2\sqrt - p z^2 - q z </math>
compte-tenu de ce dernier résultat, nous allons maintenant développer :
<math> \qquad (z^2 + \sqrt + y)^2 = (z^2 + \sqrt)^2 +2y(z^2 + \sqrt) + y^2</math>
<math> \qquad (z^2 + \sqrt + y)^2 = 2z^2\sqrt - p z^2 - q z +2y(z^2 + \sqrt) + y^2</math>
<math> \qquad (z^2 + \sqrt + y)^2 = (2\sqrt-p+2y)z^2 - qz + 2y\sqrt + y^2</math> (*)
Le but est de déterminer y de façon à ce que le second membre s'écrive aussi sous la forme d'un carré.
Or le second membre est un polynome du second degré en z. Il s'écrira donc sous forme de carré si son discriminant est nul. c?est-à-dire si :
<math> \qquad q^2 - 4(2\sqrt - p + 2y)(2y\sqrt + y^2) = 0 </math>
Qui comme on peut le remarquer, en développant et en regroupant, donne l'équation du troisième degré en y suivante :
<math> \qquad 8y^3 + 4(6\sqrt - p)y^2 + 8(2r-p\sqrt)y - q^2 = 0 </math>
nous pouvons donc résoudre cette équation en utilisant, par exemple, la méthode de Cardan qui nous donnera trois valeurs possibles pour y pour réaliser notre but. Soit y0 la plus simple de ces valeurs.
En reportant y0 dans l'équation (*) le second membre se mettra sous la forme :
<math> \qquad (z^2 + \sqrt + y_0)^2 = (z + \frac-p+2y_0)})^2</math>
Qui peut s'écrire :
<math> \qquad (z^2 + \sqrt + y_0)^2 - (z + \frac-p+2y_0)})^2 = 0</math>
Comme nous avons une différence de carrés au premier membre, on obtiendra :
<math> \qquad (z^2 + \sqrt + y_0 - z - \frac-p+2y_0)})(z^2 + \sqrt + y_0 + z + \frac-p+2y_0)}) = 0</math>
Un produit de facteur est nul si l'un des facteurs est nul.
On obtient donc les deux équations du second degré en z suivantes :
<math> \qquad z^2 + \sqrt + y_0 - z - \frac-p+2y_0)} = 0</math>
<math> \qquad z^2 + \sqrt + y_0 + z + \frac-p+2y_0)} = 0</math>
Chacune de ces deux équations nous donnera deux valeurs pour z, soit quatre valeurs en tout pour z.
En reportant ces quatre valeurs de z trouvées dans la relation :
<math> \qquad x = z - \frac</math>
posée au début, on trouvera quatre valeurs pour x qui seront les quatre racines de l'équation :
<math> \qquad a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>
que l'on s'était donné de résoudre au début....
[] Autres méthodes de résolution d'équations
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode de Ferrari
