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La méthode de Sotta, imaginée et mise au point par Bernard Sotta, permet de résoudre toutes les équations du troisième degré et peut se généraliser à certaines équations de degré supérieur ou égal à 4 si les coefficients de ces équations vérifient certaines conditions.
Ces équations fournissent des exemples d'équations qui, bien qu'ayant un degré supérieur ou égal à 5, ont un groupe de Galois résoluble. Nous savons en effet que les équations de degré supérieur ou égal à 5 n'ont pas forcément un groupe de Galois résoluble. Ce qui permet d'affirmer qu'il n'existe pas de méthode générale pour les résoudre. (voir Théorie de Galois).
[] Principe de la méthode
Dans tout cet article n est un nombre entier représentant le degré de l'équation à résoudre.
Toutes les autres lettres représentent des nombres complexes.
Par convention <math> \sqrt[n]</math> désigne n'importe laquelle des n racines nème de a, il en est de même de <math> \sqrt[n]</math>
Considérons une équation de degré n avec n > 2 :
<math> \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>
Nous appellerons équation résolvante de Sotta associée à l'équation précédente, l'équation du second degré suivante :
<math> \qquad (n-1)(n-2)[2na_na_-(n-1)a_^2]X^2 + 2(n-1)[3na_na_-(n-2)a_a_]X + 6(n-1)a_a_ - 4(n-2)a_^2= 0</math>
Nous avons alors le théorème suivant (théorème de Sotta) :
Si l'équation :
<math> \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>
admet des racines sous la forme :
<math> \qquad \frac + c\sqrt[n]} + e\sqrt[n]}</math>
alors <math>\frac</math> et <math>\frac</math> sont les deux racines de l'équation résolvante.
a et f sont alors donné par les deux relations :
- <math> \qquad f = (-1)^n \frac+nba_n}(dc-be)}</math>
- <math> \qquad a = \frac</math>
Les n racines de l'équation proposée seront alors :
<math> \qquad x_k = \frac}\sqrt[n] + c\sqrt[n]}}\sqrt[n] + e\sqrt[n]}</math> avec k prenant successivement toutes les valeurs entières de 0 à n-1
[] Application à la résolution des équations de degré 3
Toutes les équations de degré 3 admettent des racines sous la forme :
<math> \qquad \frac + c\sqrt[3]} + e\sqrt[3]}</math>
par conséquent, la méthode de Sotta permet de résoudre toutes les équations de degré 3.
Soit donc l'équation suivante :
<math> \qquad a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>
La résolvante de Sotta associée sera :
<math> \qquad (3a_3a_1-a_2^2)X^2 + (9a_3a_0-a_2a_1)X + 3a_2a_0 - a_1^2= 0</math>
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que<math>\frac</math> et <math>\frac</math> soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :
- <math> \qquad f = \frac</math>
- <math> \qquad a = \frac</math>
Les trois racines de l'équation à résoudre seront :
<math> \qquad x_k = \frac}\sqrt[3] + c\sqrt[3]}}\sqrt[3] + e\sqrt[3]}</math> avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2.
[] Application à la résolution des équations de degré 4
Les équations de degré 4 :
<math> \qquad a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>
admettent des racines sous la forme :
<math> \qquad \frac + c\sqrt[4]} + e\sqrt[4]}</math>
seulement si :
- <math> \qquad 27a_4a_1^2-72a_4a_2a_0+2a_2^3-9a_3a_2a_1+27a_3^2a_0=0</math>
par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 4 vérifiant cette condition de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
<math> \qquad a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>
La résolvante de Sotta associée sera :
<math> \qquad (24a_4a_2-9a_3^2)X^2 + (36a_4a_1-6a_3a_2)X + 9a_3a_1 - 4a_2^2= 0</math>
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que<math>\frac</math> et <math>\frac</math> soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :
- <math> \qquad f = \frac</math>
- <math> \qquad a = \frac</math>
Les quatre racines de l'équation à résoudre seront :
<math> \qquad x_k = \frac}\sqrt[4] + c\sqrt[4]}}\sqrt[4] + e\sqrt[4]}</math> avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3.
[] Application à la résolution des équations de degré 5
Les équations de degré 5 :
<math> \qquad a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>
admettent des racines sous la forme :
<math> \qquad \frac + c\sqrt[5]} + e\sqrt[5]}</math>
seulement si :
- <math> \qquad 10a_5a_2^2-20a_5a_3a_1+a_3^3-4a_4a_3a_2+8a_4^2a_1=0</math>
- <math> \qquad 8a_4a_1^2-20a_4a_2a_0+a_2^3-4a_3a_2a_1+10a_3^2a_0=0</math>
par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 5 vérifiant ces conditions de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
<math> \qquad a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,</math>
La résolvante de Sotta associée sera :
<math> \qquad (10a_5a_3-4a_4^2)X^2 + (10a_5a_2-2a_4a_3)X + 2a_4a_2 - a_3^2= 0</math>
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que<math>\frac</math> et <math>\frac</math> soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :
- <math> \qquad f = \frac</math>
- <math> \qquad a = \frac</math>
Les cinq racines de l'équation à résoudre seront :
<math> \qquad x_k = \frac}\sqrt[5] + c\sqrt[5]}}\sqrt[5] + e\sqrt[5]}</math> avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4.
[] Application à la résolution des équations de degré 6
Les équations de degré 6 :
<math> \qquad a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>
admettent des racines sous la forme :
<math> \qquad \frac + c\sqrt[6]} + e\sqrt[6]}</math>
seulement si :
- <math> \qquad 135a_6a_3^2-240a_6a_4a_2+16a_4^3-60a_5a_4a_3+100a_5^2a_2=0</math>
- <math> \qquad 160a_5a_2^2-300a_5a_3a_1+27a_3^3-96a_4a_3a_2+160a_4^2a_1=0</math>
- <math> \qquad 100a_4a_1^2-240a_4a_2a_0+16a_2^3-60a_3a_2a_1+135a_3^2a_0=0</math>
par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 6 vérifiant ces conditions de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
<math> \qquad a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,</math>
La résolvante de Sotta associée sera :
<math> \qquad (120a_6a_4-50a_5^2)X^2 + (90a_6a_3-20a_5a_4)X + 15a_5a_3 - 8a_4^2= 0</math>
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que<math>\frac</math> et <math>\frac</math> soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :
- <math> \qquad f = \frac</math>
- <math> \qquad a = \frac</math>
Les six racines de l'équation à résoudre seront :
<math> \qquad x_k = \frac}\sqrt[6] + c\sqrt[6]}}\sqrt[6] + e\sqrt[6]}</math> avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5.
[] Application à la résolution des équations de degré 7
Les équations de degré 7 :
<math> \qquad a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0</math>
admettent des racines sous la forme :
<math> \qquad \frac + c\sqrt[7]} + e\sqrt[7]}</math>
seulement si :
- <math> \qquad 189a_7a_4^2-315a_7a_5a_3+25a_5^3-90a_6a_5a_4+135a_6^2a_3=0</math>
- <math> \qquad 135a_6a_3^2-225a_6a_4a_2+27a_4^3-90a_5a_4a_3+125a_5^2a_2=0</math>
- <math> \qquad 125a_5a_2^2-225a_5a_3a_1+27a_3^3-90a_4a_3a_2+135a_4^2a_1=0</math>
- <math> \qquad 135a_4a_1^2-315a_4a_2a_0+25a_2^3-90a_3a_2a_1+189a_3^2a_0=0</math>
par conséquent, la méthode de Sotta ne permet de résoudre que les équations de degré 7 vérifiant ces conditions de résolubilité.
Soit donc l'équation suivante :
<math> \qquad a_7 x^7 + a_6 x^6 + a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0,</math>
La résolvante de Sotta associée sera :
<math> \qquad (105a_7a_5-45a_6^2)X^2 + (63a_7a_4-15a_6a_5)X + 9a_6a_4 - 5a_5^2= 0</math>
Il suffit donc de choisir b, c, d, e tel que<math>\frac</math> et <math>\frac</math> soit les racines de la résolvante. On calcule ensuite a et f à l'aide des formules :
- <math> \qquad f = \frac</math>
- <math> \qquad a = \frac</math>
Les septs racines de l'équation à résoudre seront :
<math> \qquad x_k = \frac}\sqrt[7] + c\sqrt[7]}}\sqrt[7] + e\sqrt[7]}</math> avec k prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
[] Exemples
Les deux exemples qui suivent ont été choisis de façon à ce que l'équation résolvante ait un discriminant sous forme de carré parfait afin de simplifier les calculs. Mais la méthode s'applique aussi bien lorsque le discriminant n'est pas un carré parfait, est négatif, ou est un nombre complexe quelconque.
[] Exemple 1
Soit à résoudre l'équation :
<math> \qquad 6x^3 - 6x^2 + 12x + 7 = 0 </math>
La résolvante de Sotta est :
<math> \qquad 2X^2 + 5X - 3 = 0 </math>
qui a pour racine :
<math> \qquad \frac = \frac et \frac = -3 </math>
On peut choisir :
<math> \qquad b = 1, c = -3, d = 2, e = 1 </math>
d'où :
<math> \qquad f = \frac = \frac </math>
<math> \qquad a = \frac = \frac</math>
En posant :
<math> \qquad j = e^} </math>
On obtient les trois racines suivantes :
<math> \qquad x_1 = \frac} - 3\sqrt[3]}}} + \sqrt[3]}} = \frac - 3\sqrt[3]} + \sqrt[3]} </math>
<math> \qquad x_2 = \frac} - 3\sqrt[3]}}} + \sqrt[3]}} = \frac - 3\sqrt[3]} + \sqrt[3]} </math>
<math> \qquad x_3 = \frac} - 3\sqrt[3]}}} + \sqrt[3]}} = \frac - 3\sqrt[3]} + \sqrt[3]} </math>
[] Exemple 2
Soit à résoudre l'équation :
<math> \qquad 14x^5 - 36x^4 + 32x^3 - 24x^2 - 2x - 3 = 0 </math>
On a alors :
- <math> \qquad a_5 = 14 </math>
- <math> \qquad a_4 = -36 </math>
- <math> \qquad a_3 = 32 </math>
- <math> \qquad a_2 = -24 </math>
- <math> \qquad a_1 = -2 </math>
- <math> \qquad a_0 = -3 </math>
Pour savoir si l'équation est résoluble par la méthode de Sotta, nous devons vérifier les conditions de résolubilité.
<math> \qquad 10a_5a_2^2-20a_5a_3a_1+a_3^3-4a_4a_3a_2+8a_4^2a_1=10*14*24^2+20*14*32*2+32^3-4*36*32*24-8*36^2*2=0</math>
<math> \qquad 8a_4a_1^2-20a_4a_2a_0+a_2^3-4a_3a_2a_1+10a_3^2a_0=-8*36*2^2+20*36*24*3-24^3-4*32*24*2-10*32^2*3=0</math>
La résolvante de Sotta est :
<math> \qquad 2X^2 + 3X - 2=0 </math>
qui a pour racine :
<math> \qquad \frac = \frac et \frac = -2 </math>
On peut choisir :
<math> \qquad b = 1, c = 2, d = 2, e = -1 </math>
d'ou :
<math> \qquad f = \frac = \frac </math>
<math> \qquad a = \frac = \frac</math>
L'une des racines de l'équation sera :
<math> \qquad x_1 = \frac} + 2\sqrt[5]}}} - \sqrt[5]}} = \frac + 2\sqrt[5]} - \sqrt[5]} </math>
On obtient alors les cinqs racines suivantes :
<math> \qquad x_1 = \frac + 2\sqrt[5]} - \sqrt[5]} </math>
<math> \qquad x_2 = \frac}\sqrt[5] + 2\sqrt[5]}}\sqrt[5] - \sqrt[5]} </math>
<math> \qquad x_3 = \frac}\sqrt[5] + 2\sqrt[5]}}\sqrt[5] - \sqrt[5]} </math>
<math> \qquad x_4 = \frac}\sqrt[5] + 2\sqrt[5]}}\sqrt[5] - \sqrt[5]} </math>
<math> \qquad x_5 = \frac}\sqrt[5] + 2\sqrt[5]}}\sqrt[5] - \sqrt[5]} </math>
[] Autres méthodes de résolution d'équations
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode de Sotta
