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La méthode de Tschirnhaus, imaginée et mise au point par Ehrenfried Walther von Tschirnhaus, est une méthode générale de résolution des équations polynomiales.
Cette méthode tente de ramener l'équation que l'on veut résoudre à d'autres équations de degrés moins élevé. Cette méthode échoue de façon certaine pour les équations de degrés supérieur ou égal à cinq qui ont un groupe de Galois non résoluble.
Cette méthode, fastidieuse pour les équations de degré supérieur ou égal à 4, n'a un intérêt concret que pour les équations de degré 3.
[] Principe de la méthode
Considérons une équation de degré n :
<math> \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>
Le principe de la méthode consiste à faire un changement de variable en posant :
<math> \qquad y = x^+b_x^+\cdots+b_1 x + b_0 </math>
En éliminant x entre cette relation et l'équation à résoudre, on obtient une équation de degré n et d'inconnue y dont les coefficients dépendent de bn-2, bn-3, ..., b1, b0. On va alors essayer de déterminer bn-2, bn-3, ..., b1, b0 de façon à obtenir une équation en y de la forme :
<math> \qquad y^n - c = 0</math>
Pour cela, dans l'équation en y , on pose égal à 0, tous les coefficients des monomes de degré 1 à n-1. On obtient ainsi un système de n-1 équations à n-1 inconnues bn-2, bn-3, ..., b1, b0. Ces valeurs, une fois obtenues, sont reportées dans la relation :
<math> \qquad y = x^+b_x^+\cdots+b_1 x + b_0 </math>
Ou y prendra succéssivement pour valeur l'une des n racines de c.
Nous nous sommes donc ramené à la résolution de n équations en x de degré n-1. Nous pouvons renouveler ainsi l'opération jusqu'a obtenir des équations de degré suffisamment bas pour pouvoir les résoudre.
[] Remarque historique
L'intérêt de cette méthode est surtout historique car c'est la première méthode générale de résolution des équations à avoir été publiée. Sa publication remonte à 1683.
[] Autres méthodes de résolution d'équations
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode de Tschirnhaus
