Encyclopedie - Méthode_de_la

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En analyse numérique, la méthode de la sécante est un algorithme de recherche de racines d'une fonction f.

[] La méthode

La méthode de la sécante est une méthode dérivée de celle de Newton où l'on remplace <math>f'(x_n)\,</math> par <math>\frac)}}</math> On obtient la relation de récurrence

L'initialisation nécessite 2 points x₀ et x₁, proches, si possible, de la solution recherchée.

[] Démonstration

Image:MethodeDeLaSecante.png

La courbe rouge représente la fonction f et le segment en bleu, la sécante.

Etant donné a et b, on construit le segment reliant (a, f(a)) et (b, f(b)). La droite peut être définie ainsi :

On choisit c de telle sorte que c soit la racine de cette droite (c'est-à-dire, f(c)=0).

Si on extrait c de cette équation, on retrouve la relation de récurrence citée plus haut.

[] Convergence

Si les valeurs initiales de x₀ et de x₁ sont suffisamment proches de la solution, la méthode aura un ordre de convergence de

<math> \varphi = \frac} \approx 1.618 </math> qui est le nombre d'or.

Toutefois, la fonction f doit être 2 fois continuement différentiable et ce doit être une racine simple.

[] Exemple d'implémentation

Ce programme en C résout le problème f(x) = cos(x) - x³ = 0. Les tests d'arrêts sont les suivants :

<math> |x_ - x_n| < e </math>
<math> n > m </math>

m et e étant donnés.

#include <stdio.h>
#include <math.h>
  
double f(double x)
{
    return cos(x) - x*x*x;
}
 
double SecantMethod(double xn_1, double xn, double e, int m)
{
    int n;
    double d;
    for (n = 1; n <= m; n++)
    {
        d = (xn - xn_1) / (f(xn) - f(xn_1)) * f(xn);
        if (fabs(d) < e)
            return xn;
        xn_1 = xn;
        xn = xn - d;
    }
    return xn;
}
 
int main(void)
{
    printf("%0.15f\n", SecantMethod(0, 1, 5E-11, 100));
    return 0;
}

On obtient les résultats suivants :

[] Voir aussi