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En analyse numérique, la méthode des trapèzes est une méthode permettant de réaliser le calcul numérique d'une intégrale
- <math> \int_^ f(x)dx</math>
[] Intervalle unique
Le principe est d'approximer la région sous la fonction <math>f(x)</math> par un trapèze et d'en calculer l'aire. Ce qui nous donne
- <math> \int_^ f(x) dx \approx (b-a)\frac{f(a) + f(b)}.</math>
[] Intervalles multiples
Pour obtenir de meilleurs résultats, on découpe l'intervalle <math>[a, b]</math> en n intervalles plus petits et on applique la méthode sur chacun d'entre eux :
- <math>\int_a^b f(x)\,dx = \frac \left( {f(a) + f(b) \over 2} + \sum_^ f \left( a+k \frac \right) \right) + R_n(f)</math>
<math>R_n(f)\,</math> est l'erreur de quadrature et vaut:
<math>-\fracf(\xi)</math> pour un <math>\xi \in [a,b]\,</math>
[] Exemple d'approximation d'une fonction par des trapèzes
Voici le découpage d'une fonction f que l'on veut intégrer sur l'intervalle <math>[0;2]</math> <math>f(x)=1.1 + \ln(e-\frac+\frac\operatorname(\ln(x+10^)+1))\cos \,x + \frac(x-\frac)^2 \,\!</math>
<math>\cdot \cdot \cdot + \frac \sqrt \sin (\frac(4+3\sqrt)x-\fracx^5)-e^} \,\!</math>
Découpage pour différentes valeurs de n (2,8 et 16).
Image:Trapz M 02.jpgImage:Trapz M 08.jpgImage:Trapz M 16.jpg
[] Divers théorèmes
Théorème : Si f est 2 fois continûment différentiable sur <math>[a,b]</math>, la méthode des trapèzes est convergente sur <math>C^2([a,b])</math>.
Théorème : La méthode des trapèzes est stable.
[] Applications des formules de Newton-Cotes
La méthode des trapèzes est une application des formules de Newton-Cotes, la méthode de Simpson en est une autre.
[] Voir aussi
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode des trapèzes
