Nombre_figuré

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[] Introduction

Un nombre figuré est un nombre qui peut être représenté par une figure géométrique régulière et discrète (par exemple par des points). Si la structure de la figure est polytopique, le nombre figuré est appelé nombre polytopique, et peut être un nombre polygonal ou un nombre polyédrique.

Les premiers nombres triangulaires peuvent être obtenus en disposant des rangées de 1, 2, 3, 4, 5, et 6 symboles :

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Le nombre r-topique de rang n est donné par la formule

<math>\forall n\in\mathbb^*\quad P_r(n) = C_^r = \over }</math>

<math>r!</math> est la factorielle de <math>r</math>, <math>C_n^r</math> est un coefficient binomial, et <math>n^</math> est la factorielle croissante.

Les nombres polytopiques pour r = 2, 3, et 4 sont

• P₂(n) = 1/2 n(n + 1) ( nombres triangulaires)
• P₃(n) = 1/6 n(n + 1)(n + 2) (nombres tétraédriques)
• P₄(n) = 1/24 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) (nombres pentatopiques)

Les dénominations de nombre carré et nombre cubique proviennent de la représentation géométrique de ces nombres en carré ou en cube.

[] Gnomon

Les nombres figurés peuvent être considérés comme des éléments de la géométrie pythagoricienne, puisque Pythagore participa à introduire ces nombres et les définit comme étant produits à partir d'un gnomon c'est-à-dire d'une unité de base. Le gnomon est le morceau qui doit être ajouté à un graphique représentant un nombre figuré pour le transformer en le graphique représentant le nombre suivant plus grand. Le nombre de points constituant le gnomon est appelé nombre gnomonique.

Par exemple, le gnomon d'un nombre carré peut ressembler à ?, représentant un nombre impair de la forme générale 2n + 1, où n = 1, 2, 3.... Le carré de 8×8 éléments composé de gnomons peut être dessiné de la manière suivante

8 8 8 8 8 8 8 8
8 7 7 7 7 7 7 7
8 7 6 6 6 6 6 6
8 7 6 5 5 5 5 5
8 7 6 5 4 4 4 4
8 7 6 5 4 3 3 3
8 7 6 5 4 3 2 2
8 7 6 5 4 3 2 1

Pour transformer un carré de n× n éléments en un carré de (n+1)×(n+1) éléments on adjoint 2n + 1 éléments

• un à la fin de chaque rangée (n éléments),
• un à l'extrémité de chaque colonne (n éléments),
• et un seul dans le coin.

Par exemple, en transformant le carré de côté 7 en un carré de côté 8, nous ajoutons 15 éléments; ces ajouts sont les huit points de la figure ci-dessus.

Remarquez que cette technique gnomonique fournit également une vérification géométrique dans le cas particulier n=8, que la somme des n premiers nombres impairs est égale à n²; en effet la figure montre bien que 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8².

[] Racines carrées

Réciproquement, on peut calculer la racine carrée de tout nombre en soustrayant des nombres impairs consécutifs. Ainsi, 64 - 1 = 63; 63 - 3 = 60; 60 - 5 = 55; 55 - 7 = 48; 48 - 9 = 39; 39 - 11 = 28; 28 - 13 = 15; 15 - 15 = 0. Les soustraction des 8 premiers nombres impairs de 64 donnent 0; par conséquent, la racine carrée de 64 est égale à 8.

Le nombre de soustractions devenant très important à mesure que le nombre dont on extrait la racine grandit, il peut être réduit par une méthode semblable au procédé d'extraction de la racine enseigné à l'école. Par exemple 1225 = 35 ×35. Remarquons que la somme des chiffres de cette racine carrée: 3 + 5 = 8. Ce raccourci d'extraction de la racine ramène le nombre de soustractions de 35 à 8 soustractions seulement. Le raccourci utilise des astuces de marquage et de reprise.

L'astuce de marquage est déjà connue puisqu'elle est utilisée dans l'algorithme familier d'extraction de racine carrée. On sépare avec des apostrophes et à partir de la droite, les chiffres du nombre dont on veut extraire la racine, en paires de chiffres. Par exemple 1225 serait marqué 12'25. Ensuite le calcul commence en considérant la première paire de chiffres la plus à gauche. La raison de ces groupements par paires est que le carré d'un seul chiffre donne un nombre d'un ou deux chiffres. Ainsi, 1, 2, 3 ont respectivement pour carrés 1, 4, 9 qui ont un seul chiffre. Mais 4 a un carré égal au nombre 16 de deux chiffres; et les nombres 5, 6, 7, 8, 9 ont aussi des carrés de deux chiffres. Pour tenir compte de cette remarque, on groupe les chiffres par deux pour fournir un seul chiffre à chaque étape de l'algorithme.

L'astuce de reprise (unique à cet algorithme) décale d'une paire de chiffres le nombre dont on veut extraire la racine jusqu'à la paire de chiffres suivante (immédiatement à droite). Ce raccourci est utilisé dans le calcul de la racine carrée de 1225 exposé ci-dessous.

1. Marquer 1225, ce qui donne 12'25; commencer le calcul par la paire gauche de chiffres, à savoir, 12,
2. commencer à soustraire les nombres impairs consécutifs 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; mais le prochain nombre impair, 7 ne peut pas être ôté de 3, ainsi l'astuce de reprise est nécessaire,
3. le chiffre extrême gauche de la racine carrée, 3 représente réellement 30, parce que le deuxième chiffre de droite d'un nombre en numération décimale correspond au chiffre des dizaines,
4. à la différence 3 (= 8 - 5), juxtaposer le nombre formé des deux chiffres suivants dans le marquage (25), pour obtenir 325, et reprendre la soustraction des nombres impairs en commençant à partir d'un nombre impair déterminé de la manière suivante:
5. la dernière soustraction « réussie » a donné 5; mais le nombre impair suivant, 7 ne pouvant être ôté de 5, on doit interpoler entre 5 et 7 pour obtenir 6 (première partie de l'astuce de reprise),
6. puisque les 3 soustractions réussies représentent le nombre à deux chiffres 30, considérer le nombre 6 du résultat de l'interpolation comme étant 60; reprendre la soustraction par les nombres impairs avec le premier nombre impair dans la soixantaine, à savoir 61 (seconde et dernière partie de l'astuce de reprise ou du sous-algorithme),
7. résultat: 325 - 61 = 264; 264 - 63 = 201; 201 - 65 = 136; 136 - 67 = 69; 69 - 69 = 0,
8. après être passé de 325 à 0 en utilisant cinq soustractions, le deuxième chiffre est égal à 5 ce qui donne 30 + 5 =35, et ainsi la racine carrée de 1225 est 35, obtenue en exactement après 3 + 5 = 8 soustractions en appliquant les astuces de marquage et de reprise.

Prenons un autre exemple, considérons 144 = 12². La racine carrée est facilement calculée par douze soustractions: 144 - (1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25) = 144 - 144 = 0. Cependant, les astuces de marquage et de reprise permettent de ramener l'extraction à 1 + 2 = 3 soustractions de nombres impairs. Appliquons la méthode précédente. Il faut

1. marquer 144, pour obtenir 1'44,
2. commencer par la paire extrême gauche, et lui retrancher le premier entier naturel impair, 1 - 1 = 0; le chiffre le plus à gauche de la racine carrée est 1, et représente les dizaines. Puis considérer 10,
3. abaisser la deuxième paire de chiffres: 0 + 44 = 44 et commencer à soustraire des nombres impairs,
4. interpoler entre 1 qui a « réussi », et 3 qui a « échoué », pour obtenir 2, qui représente les vingtaines. Puis prendre dans les vingtaines le premier nombre impair 21, et poursuivre les soustractions avec des nombres impairs à partir de 21,
5. 44 - 21 = 23; 23 - 23 = 0, résultats issus de deux soustractions, ainsi le deuxième chiffre est 2: et donc 10 + 2 = 12 représente la racine carrée de 144, obtenue en 1 + 2 = 3 soustractions de nombres impairs.

Un cas particulier peut faire apparaître une « différence zéro », comme 10² = 100. En marquant 100 nous obtenons 1'00. Ensuite en retranchant le premier nombre impair 1 - 1 = 0 (différence), qui donne en combinant avec la deuxième paire de chiffres 000. Mais dans le système décimal cela vaut simplement 0. La racine carrée est donc égale à 10, et l'extraction est réalisée en 1 + 0 = 1 soustractions.

Un dernier exemple est 20² = 400. Marquons 400 pour obtenir 4'00. Ensuite 4 - (1 + 3) = 0 (différence), qui se combine avec la deuxième paire de chiffres pour donner 0000, qui vaut 0. Ceci nous donne la racine carrée égale à 20, réalisée en 2 + 0 = 2 soustractions.

[] Cubes et racines cubiques

Les cubes d'entiers naturels ou d'entiers strictement positifs peuvent être générés à partir de la suite S =(1, 3, 5, 7, ..., 2n + 1, ...) par des sommes mobiles, semblables aux moyennes mobiles en statistiques :

1. premier terme de S: 1 = 1³.
2. les deux termes suivants de S: 3 + 5 = 8 = 2³.
3. les trois termes suivants de S: 7 + 9 + 11 = 27 = 3³.
4. les quatre termes d'après de S: 13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4³.
5. les cinq termes suivants de S: 21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 125 = 5³.
6. les six termes suivants de S: 31 + 33 + 35 + 37 + 39 + 41 = 216 = 6³.
7. les sept termes suivants de S: 43 + 45 + 47 + 49 + 51 + 53 + 55 = 343 = 7³.

Les « différences mobiles » de S donnent les racines cubiques.

Ce procédé (assez long à expliquer, mais rapide à effectuer) ne se limite pas aux calculs des racines carrées des entiers naturels ou des entiers strictement positifs. Il peut aussi être utilisé pour calculer la racine carrée irrationnelle de 2, avec n'importe quel nombre de décimales.

[] Démonstration de propriétés mathématiques

Les écoliers construisent des nombres figurés avec des cailloux, des capsules, etc. De plus les enfants peuvent employer des nombres de figurés pour découvrir la commutativité, l'associativité des lois d'addition et de multiplication ? lois qui leur sont dictées en construisant des rangées ou des tables de points. En utilisant des astérisques à la place de points ou de capsules, la relation 2 + 3 = 3 + 2 = 5 (qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour l'addition) peut être représentée par

*  * | *  *  *  <->  *  *  * | *  *  <->  *  *  *  *  *

Et la relation 2×3 = 3×2 = 6 (qui traduit le fait que 2 et 3 sont permutables pour la multiplication) peut être représentée par

*  *  <->  *  *  *  <->  *  *  *  *  *  *
*  *       *  *  *
*  *

Sans oublier la méthode fondée sur des soustractions successives, la méthode additive permet aussi d'approcher les racines carrées des nombres entiers strictement positifs et de résoudre des équations quadratiques.

Les concepts des nombres figurés et de gnomon font intervenir implicitement le concept moderne de récurrence.

[] Voyez également

• Le théorème de Pick

[] Références

• Gnomon, From Pharaohs to Fractals. Midhat J. Gazalé, Princeton University Press, Princeton, 1999.