Les mathématiques (du grec ?????? (máth?ma) signifiant « connaissance, science ») constituent un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypothético-déductifs, relativement à des concepts tels que les nombres, les figures, les structures ou les transformations. Elles servent aussi à modéliser des phénomènes naturels et humains variés, comme le mouvement, le climat, ou l'efficacité d'un médicament. L'appellation « mathématiques » désigne aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances et ces applications, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Historiquement, les premiers travaux mathématiques ont concerné l'extraction des racines carrées ou cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, ou l'arithmétique des entiers naturels. A l'époque médiévale, les mathématiciens des Pays d'Islam ont favorisé l'interfécondation des traditions antiques et des découvertes chinoises et indiennes, tout en produisant de nombreuses innovations, de l'algèbre à l'optique géométrique.
La Renaissance européenne a vu se développer les calculs algébrique et infinitésimal, suite aux travaux de François Viète, René Descartes, Isaac Newton et Leibniz. Au cours du XVIII^e siècle et du XIX^e siècle, ce développement s'accéléra avec l'introduction de nouvelles structures, abstraites, notamment :

• les groupes suite aux travaux d'Augustin Louis Cauchy et d'Évariste Galois sur les substitutions (permutations particulières) et les équations polynomiales ;
• les anneaux suite aux travaux de Richard Dedekind,
• ou encore les ensembles et les nombres transfinis suite aux réflexions de Georg Cantor.

L'exploration de l'axiomatique conduira le XX^e siècle à tenter de ramener toutes les mathématiques à un langage, celui de la logique. Par ailleurs, le XX^e siècle a connu une croissance explosive des mathématiques, avec une spécialisation des domaines et la naissance ou l'approfondissement de nombreuses branches nouvelles (par exemple : théorie de la mesure, analyse spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique,...). Toujours au même siècle, l'apparition de l'informatique a eu un impact non négligeable sur la recherche en mathématiques et réciproquement.

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Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l?hypoténuse (côté opposé à l?angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Ce théorème est nommé d?après Pythagore de Samos qui était un mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique. Ce résultat était déjà connu des Babyloniens sous sa forme numérique, 1?000 ans avant Pythagore.

La figure illustre une preuve reconstituée d'après les commentaires du mathématicien chinois Liu Hui (III^e siècle ap. J.-C.). Elle utilise le principe du puzzle.

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Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux (Hauts-de-Seine) le 23 mai 1857, est un mathématicien français, membre de l?Académie des sciences et professeur à l?École polytechnique. Catholique fervent, il est le fondateur de nombreuses ?uvres chrétiennes, dont l??uvre des Écoles d?Orient. Royaliste légitimiste, il s?exila volontairement lors de l'avénement de Louis-Philippe, après les Trois Glorieuses. Sa position politique et ecclésiastique lui valut nombre d?oppositions.

Il fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques, derrière Leonhard Euler, avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l?ensemble des domaines mathématiques de l?époque. On lui doit notamment en analyse l?introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence des séries et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.

Son ?uvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIX^e siècle. La négligence dont fit preuve Cauchy envers les travaux d'Évariste Galois et de Niels Abel, perdant leurs manuscrits, a cependant entaché son prestige.

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