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La racine carrée de deux est le nombre réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne le nombre 2. Il fut le premier nombre irrationnel connu.
La racine carrée de deux est la longueur de la diagonale d'un carré dont les cotés sont d'une unité de longueur. Ceci découle du théorème de Pythagore.
La découverte des nombres irrationnels est généralement attribuée à Pythagore ou l'un de ses disciples, qui a produit une preuve (plus géométrique) de l'irrationnalité de la racine carrée de 2.
Une démonstration de cette irrationnalité est la démonstration par l'absurde suivante. La proposition est démontrée en supposant l'opposé et en montrant que cela est faux, ce qui en mathématiques revient à dire que la proposition doit être vraie.
- Supposons que <math>\sqrt 2\,</math> est un nombre rationnel, ce qui veut dire qu'il existe des nombres entiers a et b tels que <math>\frac = \sqrt 2\,</math>.
- Alors <math>\sqrt 2\,</math> peut être écrite sous forme d'une fraction irréductible (c?est-à-dire une fraction réduite autant que possible) <math>\frac\,</math> telle que a et b soient des nombres entiers premiers entre eux et <math>{\sqrt 2}^2 = 2\,</math>.
- Il suit que <math>\frac = 2\,</math> et <math>a^2 = 2.b^2\,</math> .
- Par conséquent <math>a^2\,</math> est pair parce qu'il est égal à <math>2.b^2\,</math> qui est évidemment pair.
- Il suit que a doit être pair. (Les nombres impairs ont des carrés impairs et les nombres pairs des carrés pairs.)
- Parce que a est pair, il existe un k qui correspond à : <math>a = 2.k\,</math>.
- Nous insérons la dernière équation de (3) dans (6) : <math>2.b^2 = (2.k)^2\,</math> est équivalent à <math>2.b^2 = 4.k^2\,</math> est équivalent à <math>b^2 = 2.k^2\,</math>.
- Parce que <math>2.k^2\,</math> est pair, il s'ensuit que <math>b^2\,</math> est aussi pair ce qui veut dire que b est pair car seuls les nombres pairs ont des carrés pairs.
- Par (5) et (8) a et b sont tous les deux pairs, ce qui est en contradiction avec le fait que <math>\frac\,</math> soit irréductible comme établit en (2).
Puisque nous avons trouvé une contradiction, la supposition (1) que <math>\sqrt 2\,</math> soit un nombre rationnel doit être fausse. L'opposé est démontré. <math>\sqrt 2\,</math> est un nombre irrationnel.
Cette démonstration peut être généralisée pour montrer que toute racine de tout nombre naturel est soit un nombre naturel, soit un nombre irrationnel.
[] Une démonstration différente
Une autre démonstration par l'absurde montrant que <math>\sqrt 2\,</math> est irrationnelle est moins connue que la précédente et a suffisamment de charme pour qu'elle soit indiquée ici. C'est un exemple de démonstration par descente infinie.
On peut observer que si <math>\sqrt 2 = \frac\,</math> alors <math>\sqrt 2 = \frac\,</math>, c?est-à-dire une fraction en plus petits termes est réduite en termes encore plus petits. C'est une contradiction si n et m sont des entiers positifs, donc la supposition que <math>\sqrt 2\,</math> soit un nombre rationnel doit être fausse. Il est possible de construire à partir d'un triangle droit isocèle dont la hauteur et l'hypoténuse ont respectivement les longueurs n et m, par une construction classique par la règle et le compas, un triangle droit isocèle plus petit dont la hauteur et l'hypothénuse ont respectivement les longueurs <math>m - n\,</math> et <math>2.n - m\,</math>. Cette construction prouve l'irrationnalité de <math>\sqrt 2\,</math> par le genre de méthode qu'utilisait les géomètres de la Grèce antique.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine carrée de deux
