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En mathématiques, une racine n-ième de l'unité (parfois appelée nombre de de Moivre du nom d'Abraham de Moivre) est un nombre complexe dont la puissance n-ième vaut 1. Pour un entier n donné, toutes les racines n-ième de l'unité sont situées sur le cercle trigonométrique et sont les sommets d'un polygone régulier à n côtés ayant un sommet d'affixe 1.
[] Définition
Pour un entier naturel non nul n donné, on appelle racine n-ième de l'unité toute solution complexe de l'équation
- <math>z^n=1\,</math>
d'inconnue z.
Il existe exactement n racines n-ièmes de l'unité.
Les racines n-ièmes de l'unité forment un groupe cyclique d'ordre n pour la multiplication des nombres complexes avec 1 comme élément neutre. Un générateur de ce groupe cyclique s'appelle une racine primitive n-ième de l'unité.
[] Exemples
Les racines troisièmes (ou cubiques) de l'unité sont
- <math>\left\{ 1, \frac{-1 + i \sqrt}, \frac{-1 - i \sqrt} \right\}</math>
Les racines primitives troisièmes de l'unité sont
- <math>\left\{ \frac{-1 + i \sqrt}, \frac{-1 - i \sqrt} \right\}</math>
La première est habituellement notée j et la seconde, son conjugué, <math>\bar</math>.
Les racines quatrièmes de l'unité sont
- <math>\left\{ 1, +i, -1, -i \right\}</math>
Les racines primitives quatrièmes de l'unité sont
- <math>\left\{ +i, -i \right\}</math>
[] Propriétés
Le racines n-ièmes de l'unité peuvent s'écrire sous la forme
- <math>e^{\frac{2 k \pi i} }=\cos\left(\frac{2k \pi}\right) +i\sin\left(\frac{2k \pi}\right) \qquad (k,n \in \mathbb \mbox{ et } 0\le k < n)</math>
Lorsque l'entier n est supérieur à 2, la somme de ces nombres est égale à 0, un fait simple qui est souvent utile en mathématiques. Il peut être démontré de différentes manières, par exemple en reconnaissant une somme d'une progression géométrique.
Les racines primitives n-ièmes de l'unité sont exactement les nombres de la forme <math> e^{\frac{2k i \pi}}</math> où k et n sont premiers entre eux. Par conséquent, il y a <math>\varphi(n)\,</math> racines primitives n-ièmes de l'unité différentes, où <math>\varphi\,</math> désigne la fonction ? d'Euler.
[] Polynômes cyclotomiques
Les racines n-ièmes de l'unité sont précisément les racines du polynôme <math>P(X)=X^n-1\,</math>. Les racines primitives n-ièmes de l'unité sont exactement les racines du polynôme d'indice n suivant :
- <math>
\Phi_n(X) = \prod_^(X-z_k)\;
</math>
où <math>z_1, \ldots, z_\,</math> sont les racines primitives n-ièmes de l'unité et <math>\varphi(n)</math> la fonction indicatrice d'Euler. Le polynôme <math>\Phi_n(X)\,</math> a des coefficients entiers et est irréductible sur l'ensemble des rationnels (c?est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit comme produit de deux polynômes de degré strictement positif à coefficients rationnels). Le cas particulier où n est premier, plus simple que le cas général, se déduit du critère d'Eisenstein.
Chaque racine n-ième de l'unité est une racine primitive d-ième de l'unité pour exactement un diviseur positif de n. Cela implique que
- <math>
X^n - 1 = \prod_ \Phi_d(X).\;
</math>
Cette formule représente la décomposition du polynôme <math>X^ - 1\,</math> en produits de facteurs irréductibles et peut également être employée pour calculer récursivement les polynômes cyclotomiques. Les premiers polynômes cyclotomiques sont :
- <math>\Phi_1(X) = X - 1\,</math>
- <math>\Phi_2(X) = X + 1\,</math>
- <math>\Phi_3(X) = X^2 + X + 1\,</math>
- <math>\Phi_4(X) = X^2 + 1\,</math>
- <math>\Phi_5(X) = X^4 + X^3 + X^2 + X + 1\,</math>
- <math>\Phi_6(X) = X^2 - X + 1\,</math>
En général, si p est un nombre premier, alors toutes les racines p-ièmes de l'unité sauf 1 sont des racines primitives p-ièmes de l'unité, et nous avons
- <math>
\Phi_p(X)=\frac=\sum_^ X^k
</math>
Il faut noter que, contrairement aux apparences, tous les coefficients des polynômes cyclotomiques ne sont pas 1, -1 ou 0 ; le premier polynôme où cela se produit est ?105, puisque 105 = 3×5×7 est le premier produit de trois nombres premiers impairs.
En effet :
<math>\Phi_(X) = X^ + X^ + X^ - X^ - X^ - 2X^ - X^ - X^ + X^ + X^ + X^ + X^ + X^ + X^ - X^ - X^ - X^ - X^ - X^ + X^ + X^ + X^ + X^ + X^ + X^ - X^9 - X^8 - 2X^7 - X^6 - X^5 + X^2 + X + 1</math>
[] Corps cyclotomiques
En adjoignant une racine primitive n-ième de l'unité à <math>\mathbb</math>, nous obtenons le corps n-cyclotomique <math>\mathbb_n</math>. Ce corps contient toutes les racines n-ièmes de l'unité et est le corps de décomposition sur <math>\mathbb</math> du polynôme cyclotomique d'indice n. L'extension de corps <math>\mathbb_n/\mathbb</math> est de degré <math>\varphi(n)</math> et son groupe de Galois est naturellement isomorphe au groupe multiplicatif des inversibles de l'anneau <math>\mathbb/n\mathbb</math>.
Comme le groupe de Galois de <math>\mathbb_n/\mathbb</math> est abélien, c'est une extension abélienne. Tout sous-corps d'un corps cyclotomique est une extension abélienne du corps des nombres rationnels. Dans ces cas, la théorie de Galois peut être écrite tout à fait explicitement en termes de périodes gaussiennes : cette théorie tirée du Disquisitiones Arithmeticae de Gauss fut publiée beaucoup d'années avant la théorie de Galois.
Réciproquement, chaque extension abélienne du corps des nombres rationnels est un sous-corps d'un corps cyclotomique - un théorème de Kronecker, habituellement appelé le théorème de Kronecker-Weber parce que Weber en a établi la démonstration.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Racine de l\\\'unité
