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Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes).
L'état de déformation d'un solide est décrit par un champ de tenseur, c'est-à-dire que le tenseur des déformations est défini en tout point du solide. On parle de ce fait de champ de déformation.
Les composantes sont notées ?ij, avec :
- les termes diagonaux ?ii sont les allongements relatifs dans la direction i (selon l'axe xi) ;
- les autres termes ?ij (i ? j) sont les ?, les demies variations de l'angle droit (en supposant un petit volume de matière cubique avant déformation).
Le tenseur des déformations est relié au champ de contrainte par la loi de Hooke généralisée.
[] Champ de déplacement
Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement.
Soit A un point du solide au repos ; après déformation, il devient le point A' . On appelle déplacement du point A le vecteur
- <math>\vec(A) = \overrightarrow</math>
On peut relier le tenseur des déformations au champ de déplacement :
- <math>\varepsilon_ = {1 \over 2} \left ({\part u_i \over \part x_j} + {\part u_j \over \part x_i}\right )</math> (tenseur de Green).
[] Démonstration dans des cas simples
[] Allongement uni-dimensionnel
Prenons le cas d'un segment [AB], parallèle à l'axe x1, devenant le segment [A'B' ], la déformation étant également parallèle à x1.
Image:Deformation lineaire et deplacement.png
La déformation ?11 vaut (exprimée en distances algébriques) :
- <math>\varepsilon_ = \frac{\Delta l} = \frac-\overline}}</math>
Sachant que
- <math>\overline = u_1(A)</math> et <math>\overline = u_1(B)</math>
la déformation vaut donc
- <math>\varepsilon_ = \frac + \overline + \overline}} - 1</math>
- <math>\varepsilon_ = \frac{u_1(B)-u_1(A) + \overline}} - 1</math>
Si l'on se place en petites déformations, on peut faire le développement limité du premier ordre de u1 :
- <math>u_1(B) \simeq u_1(A) + \frac{\partial u_1}{\partial x_1} \cdot \overline</math>
et ainsi
- <math>\varepsilon_ = \frac{\partial u_1}{\partial x_1}</math>
De manière plus générale :
- <math>\varepsilon_ = \frac{\partial u_i}{\partial x_i} = \frac \left ( \frac{\partial u_i}{\partial x_i} + \frac{\partial u_i}{\partial x_i} \right )</math>
[] Cisaillement pur
Considérons maintenant du cisaillement pur. Un carré ABCD, où [AB] est parallèle à x1 et [AD] est parallèle à x2, se transforme en un losange AB'C'D' , symétrique selon la première bissectrice du plan.
Image:Cisaillement et deplacement.png
La tangente de l'angle ? vaut :
- <math>\tan(\gamma) = \frac}}</math>.
Pour les petites déformations, on a
- <math>\tan(\gamma) \simeq \gamma</math>
ainsi que
- <math>\overline = u_2(B) \simeq u_2(A) + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \cdot \overline</math>
avec u2(A) = 0. Ainsi,
- <math>\gamma \simeq \frac{\partial u_2}{\partial x_1}</math>
Si l'onconsidère maintenant le segment [AD] :
- <math>\gamma \simeq \frac{\partial u_1}{\partial x_2}</math>
et ainsi
- <math>\gamma = \varepsilon_ = \frac \left ( \frac{\partial u_1}{\partial x_2} + \frac{\partial u_2}{\partial x_1} \right )</math>
L'intérêt de faire la moyenne apparaît si l'on fait tourner le losange, il faut alors définir deux angles <math>\gamma_B = \widehat</math> et <math>\gamma_D = \widehat</math>.
Note : dans l'article Déformation élastique, l'angle ? défini vaut le double de l'angle défini ici.
[] Variation de volume relative
La variation de volume relative ?V/V0 est la trace du tenseur :
- <math>\frac{\Delta V} = \varepsilon_ + \varepsilon_ + \varepsilon_</math>
En effet, si l'on considère un cube d'arrête a, après déformation on a un quasi-cube (les variations d'angle ne changent pas le volume) de dimension <math>a \cdot (1 + \varepsilon_) \times a \cdot (1 + \varepsilon_) \times a \cdot (1 + \varepsilon_)</math> et V0 = a3, soit
- <math>\frac{\Delta V} = \frac{\left ( 1 + \varepsilon_ + \varepsilon_ + \varepsilon_ + \varepsilon_ \cdot \varepsilon_ + \varepsilon_ \cdot \varepsilon_+ \varepsilon_ \cdot \varepsilon_ + \varepsilon_ \cdot \varepsilon_ \cdot \varepsilon_ \right ) \cdot a^3 - a^3}</math>
comme on est en très faible déformation,
- <math>1 >> \varepsilon_ >> \varepsilon_ \cdot \varepsilon_ >> \varepsilon_ \cdot \varepsilon_ \cdot \varepsilon_ </math>
d'où le résultat.
Image:Approximation volume deformation.png
Variation de volume réelle (haut) et approchée (bas) : le dessin en vert montre le volume estimé et le dessin en orange le volume négligé
On en déduit que dans le cas du cisaillement pur, il n'y a pas de variation de volume.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur des déformations
