Un article de Wikipedia.y-project.com.
Le « théorème de Dandelin », ou « théorème belge sur la section conique » démontre de manière élégante l'équivalence entre les deux définitions métriques des coniques (à partir des foyers et de l'excentricité) et leurs définition géométrique (la section d'un cône par un plan).
Apollonius, déjà au IIIe siècle av. J.-C., définissait les coniques comme étant les formes obtenues en glissant un plan au travers d?un cône dans tous les angles possibles. On peut alors obtenir un cercle, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Il leur découvrit également des propriétés focales et en définit l'excentricité, mais on a malheureusement perdu les traces de ses ?uvres à ce sujet. L'équivalence entre ces trois propriétés a toujours parue évidente, mais on a éprouvé du mal à les démontrer clairement. C?est le Belge Germinal Pierre Dandelin qui parvint à le faire, au XIXe siècle, d?une manière fort élégante. C?est un évènement marquant dans l?histoire de la géométrie car les études d?Apollonius étaient suffisament poussées pour que peu de progrès soit fait entre temps.
[] Le cas de l'ellipse
L?ellipse est :
- le lieu des points du plan dont la somme des distances à deux points fixes est une constante strictement supérieure à la distance entre les deux points
- le lieu des points du plan dont le rapport des distances à un point fixe et à une droite ne passant pas par le point est inférieur à 1
- un des résultats obtenus par l'intersection d'un cône par un plan.
[] Démonstrations
Soit P un point quelconque de la section conique. Soient également G1 et G2 les deux sphères qui sont tangentes au cône et au plan sécant. Leurs intersections avec le cône forment deux cercles nommés k1 et k2, et avec le plan deux points nommés F1 et F2, le tout respectivement. Les projections de P sur k1 et k2 sont nommées P1 et P2. Comme PP1=PF1 et PP2=PF2 (car deux tangentes à un même cercle se coupent en un point situé à distance égale des deux pieds des tangentes), PF1+PF2=P1P2. Or la distance entre P1 et P2 est constante, quel que soit P. En d?autres termes, pour tout point P, PF1+PF2 est constant ; et donc, par définition la section conique comprenant P est une ellipse bifocale de foyers F1 et F2.
Dandelin a prouvé l?égalité entre ellipse bifocale et ellipse en tant que section conique. Nous pouvons aussi prouver l?égalité avec une ellipse dessinée à partir d?un foyer et d?une directrice.
Pour ce, prenons l?intersection entre le plan de la section et celui du cercle k1. Nous allons démontrer qu?il s?agit de la directrice. Projetons maintenant P sur le plan du petit cercle et nommons ce nouveau point P?. Projetons également P sur la supposée directrice et nommons ce point D. On constate alors que tous les triangle PP?P1 sont semblables, quel que soit le point P. Ainsi, le rapport entre PP? et PP1(=PF1) est toujours constant. On constate également que les triangles PP?D sont semblables, ce qui veut dire que le rapport entre PP? et PD est une autre constante. Or nous voulons savoir si DP/PF1 est une constante, ce qui est maintenant démontré. Les trois définitions de l?ellipse se rejoignent donc.
DernierMirror
Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème de Dandelin
