Théorème de récursion de Kleene

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Le théorème de récursion de Kleene est un théorème important de la théorie de la calculabilité. Il permet d'établir l'égalité de fonctions calculables.

Sommaire

1 Formulation avec les énumérations de fonctions récursives
2 Autre formes
3 Remarque
4 Applications

[] Formulation avec les énumérations de fonctions récursives

Si $\varphi$ est un enumération acceptable des fonctions recursives et $f$ une fonction partielle récursive alors il existe un indice $}$ tel que

$\varphi_}(x)=f(\mathbf,x)$ .

Pour un langage de programmation

Si $\varphi$ est un langage de programmation acceptable et $f$ une fonction semi-calculable alors il existe un programme $}$ tel que pour tout $x$

$\varphi_}(x)=f(\mathbf,x)$ .

[] Autre formes

Ce théorème peut être décliné sous différentes formes dont l'une des plus célèbre est dues à H. Rogers. On considère un langage de programmation acceptable $\varphi$ .

Forme de Rogers

Si $f$ est une fonction calculable alors il existe un programme $}$ tel que pour tout $x$ $\varphi_}(x)=\varphi_)}(x)$ .

Paramétrisée

Il existe une fonction calculable $n$ telle que pour tout $x$ et $y$ . $\varphi_(x)=\varphi_(n(z))}(x)$ .

Récursion double

Si $f$ et $g$ sont des fonctions calculables alors il existe deux programmes $}$ et $}$ tels que pour tout $x$

$\varphi_}(x)=\varphi_,\mathbf)}(x)$

$\varphi_}(x)=\varphi_,\mathbf)}(x)$ .

On doit le théorème de récursion double à R. Smullyan.

[] Remarque

La démonstration de ce théorème utilise l'auto-référence $s (x, x)$ produite par le théorème d'itération (théorème s-m-n). Cette notion d'autoréférence est très profonde et a été largement traitée par John von Neumann dans le cadre des automates cellulaires auto-reproducteurs.

[] Applications

Ce théorème est reconnu comme le meilleur outil permettant de produire contre-exemples et cas pathologiques. En particulier, il fournit l'existence de programmes calculant leurs propres codes. En prenant $f$ la première projection, $f (y, x) = y$ et en appliquant le théorème on obtient un programme $}$ tel que pour tout $x$

$\varphi_}(x)=\mathbf$ .

L'exécution du programme $\mathbf$ produit son propre code. De tels programmes sont communément appelés quines.

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème de récursion de Kleene


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