Un article de Wikipedia.y-project.com.
Le théorème des accroissements finis est un corollaire du théorème de Rolle, et est une généralisation de celui-ci (le Théorème de Rolle est un cas particulier du Théorème des accroissements finis pour f(b) - f(a) = 0).
Soit f : [a, b] ? R une fonction à valeurs réelles (a et b réels tels que a < b). Si :
- f est continue sur l'intervalle fermé [a, b]
- f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[,
alors
<math>\exist c\in ]a,b[\ t.q.\ f^(c)=\frac</math>
Démonstration :
Il suffit d'appliquer le théorème de Rolle à la fonction <math>x \mapsto f(x) - {f(b)-f(a) \over b-a} \times (x-a)</math>
Pour donner une image, on peut illustrer ainsi le théorème : « Si un véhicule parcourt 120 km en 2 h, son compteur a indiqué au moins une fois la vitesse précise de 60 km/h. »
[] Inégalité des accroissements finis
Soit f : [a, b] ? R une fonction à valeurs réelles (a et b réels tels que a < b). Si :
- f est continue sur l'intervalle fermé [a, b]
- f est dérivable sur l'intervalle ouvert ]a, b[
- il existe k réel positif tel que, pour tout élément x de ]a, b[, |f'(x)| ? k,
alors <math>\left| \over }\right| \le k</math>
Démonstration :
On applique le théorème des accroissements finis et on majore |f'(c)| par k.
Pour donner une image, on peut illustrer ainsi le théorème : « Si la vitesse instantanée d'un véhicule ne peut pas dépasser 120 km/h, alors sa vitesse moyenne non plus. »
[] Voir aussi
Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème des accroissements finis
