Un article de Wikipedia.y-project.com.
- Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss. Image:Disambig.svg
Le théorème de d'Alembert-Gauss, simplement appelé théorème de d'Alembert ou encore théorème fondamental de l'algèbre, s'énonce de la façon suivante :
- Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans le corps <math>\mathbb C</math> des nombres complexes a (au moins) une racine dans <math>\mathbb C</math>.
En d'autres termes, le corps <math>\mathbb C</math> des nombres complexes est algébriquement clos. On en déduit facilement que tout polynôme de degré <math>n > 0</math> est scindé, c'est-à-dire qu'il se factorise en produit de <math>n</math> polynômes du premier degré : on dit qu'il a exactement <math>n</math> racines (en tenant compte des ordres de multiplicité).
Ce théorème fut énoncé pour la première fois par Albert Girard. Jean le Rond d'Alembert en donna une démonstration presque complète, dans son Traité de dynamique. Carl Friedrich Gauss en donna la première démonstration rigoureuse au début du XIXe siècle.
La dénomination « théorème fondamental de l'algèbre » fait sourire certains car il s'agit d'un théorème « exogène » à l'algèbre, au sens où l'on n'en connaît pas de démonstration qui évite de faire appel à des outils d'analyse.
Une preuve très concise repose sur le théorème de Liouville en analyse complexe.
A cet effet, on considère un polynôme P à coefficients complexes, de degré au moins égal à 1. On suppose qu'il n'a aucune racine : dès lors, la fonction rationnelle 1 / P est entière et bornée (car elle tend vers 0 à l'infini) ; du théorème de Liouville, on déduit qu'elle est constante, ce qui contredit l'hypothèse sur le degré, et prouve ainsi par l'absurde l'existence d'au moins une racine de P.
[] Voir aussi
[] Bibiographie
- Benjamin Fine, Gerhard Rosenberg, The fundamental theorem of algebra, Springer 1997, ISBN 0-387-94657-8
DernierMirror
Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème fondamental de l\\\'algèbre
