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La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques non prédictibles de manière linéaire. En principe déterministes, ils arborent des comportements extrêmement complexes et paraissant désordonnés, « chaotiques ». L'intérêt pour cette approche a été renouvelé avec la rupture épistémologique de 1971, qui a introduit le concept « d'attracteur étrange » et de « sensibilité aux conditions initiales ». La théorie du chaos vise à proposer une méthode permettant de modéliser le comportement des systèmes dynamiques non linéaires, afin d'améliorer leur prédictibilité.
Un système non linéaire n'est généralement pas soluble sauf à le simplifier arbitrairement. La non-linéarité signifie que le fait de jouer modifie les régles de jeu. La théorie du chaos démontre l'existence de combinaisons particulières d'ordre et de désordre, mesure ce degré d'irrégularité grâce à une géométrie fractionnaire et représente, grâce à l'ordinateur, l'image du chaos. Toutes les sciences, y compris sociales, sont concernées, pour répondre à l'intuition de Platon : « (...) derrière les formes visibles et particulières de la matière doivent se cacher des formes fantomatiques qui leurs servent de modèle invisible. »
[] Historique
Ces notions fondamentales prirent corps au sein des travaux d'Henri Poincaré qui fut, sans aucun doute, le précurseur de cette nouvelle approche qu'est la théorie du chaos. Tous ses travaux lancèrent sur de nouvelles bases les réflexions concernant le déterminisme et la prédictibilité. Henri Poincaré était reconnu comme un savant de premier plan, mais tous ses travaux n'ont pas été compris ou approfondis par les mathématiciens de son temps, et cette branche-là fut provisoirement laissée en friche.
Norbert Wiener et John von Neumann se sont préoccupés pourtant de la possibilité de prédire par le calcul une situation future à partir d'un état présent. Si Wiener jugeait la tâche ardue, voire impossible puisque de « petites causes » qu'on omettrait nécessairement d'inclure dans le modèle peuvent produire de « grands effets » (il donna l'image du « flocon de neige déclenchant une avalanche »), Von Neumann y voyait une opportunité exceptionnelle pour les nouveaux appareils que l'on n'avait pas encore baptisés ordinateurs : « Si un flocon de neige peut déclencher une avalanche », répondait-il à Wiener, « alors la prédiction par le calcul nous dira très exactement quel flocon de neige précis intercepter pour que l'avalanche ne se produise pas ! » Wiener se montra sceptique : un état hypercritique restait un état hypercritique, et supprimer ce flocon particulier ne ferait à son avis que « permettre à un autre de le remplacer dans cette fonction ». Selon lui, rien ne serait donc résolu (point de vue admis aujourd'hui). Les deux hommes ne poussèrent pas plus avant ce différend.
En 1963, Edward Lorenz, un météorologue du Massachusetts Institute of Technology (MIT), mit en évidence le caractère chaotique des conditions météorologiques. Alors qu'il cherchait à déterminer des conditions météorologiques à venir à partir de données initiales sur son ordinateur, il constata, par pur hasard, qu'une modification minime des données initiales (de l'ordre de un pour mille) entraînait des résultats très différents. Lorenz venait de mettre en exergue la sensibilité aux conditions initiales (déjà observée en analyse numérique dans des résolutions d'équations différentielles sur ordinateur, entre autres par Marion Créhange à l'Université de Nancy).
Il utilisa pour expliquer cette notion la métaphore suivante : « Le battement d'ailes d'un papillon peut [de proche en proche] provoquer une tempête aux antipodes ». La découverte de Lorenz intrigua un certain nombre de physiciens et de mathématiciens. Les travaux de Poincaré connurent un regain d'intérêt et furent compris comme ils auraient dû l'être depuis longtemps. Et au début des années 1970, ils fournirent l'ossature mathématique qui allait permettre l'étude des phénomènes non-linéaires et chaotiques sous un nouveau jour.
C'est le mathématicien James A. Yorke qui a utilisé le premier le terme de « chaos ».
[] Description
La physique est fondée sur le postulat que l'univers possède des lois, et toute son ambition est de les trouver. De ce point de vue, il n'y a donc pas de système désordonné : tous les systèmes ont tous un ordre, des lois qui les décrivent.
Par contre, il est bien évident pour tous qu'il existe des systèmes "compliqués", dotés de trop de facteurs pour qu'on puisse tous les prendre en compte et faire des calculs de prédiction précis. Ces systèmes apparaissent désordonnés.
Si on examine un gaz, par exemple, le nombre de molécules empêche de faire des calculs sur la position et l'état de chacune. Paradoxalement, ce grand nombre permet de définir un comportement moyen et, à partir de là, de définir des variables macroscopiques (température, pression), et des lois qui s'y appliquent.
La théorie du chaos s'attache à d'autres systèmes qui apparaissent désordonnés, non pas en raison d'un trop grand nombre d'éléments (complication), mais à cause d'un comportement très surprenant (complexité) ; bien sûr, un système peut être compliqué et complexe (par exemple les phénomènes météorologiques ou l'économie). Or la complexité commence très tôt en physique, puisque déjà avec trois corps il n'est pas possible de calculer analytiquement l'évolution du système, il faut faire des estimations numériques.
Cette complexité se mesure à la sensibilité du système à d'infimes divergences, et à la façon dont une petite différence initiale se propage sur le résultat final. Trois cas sont intéressants :
- les systèmes stables aboutissent au même résultat : la petite divergence initiale s'amortit, tant qu'elle n'excède pas une certaine valeur. La hauteur finale d'une balle en est un exemple : quelle que soit sa hauteur initiale, elle finira toujours par ne plus rebondir et rester au sol ;
- les systèmes simples aboutissent à un résultat un peu différent, mais dont la différence est en gros proportionnelle (ou toute autre loi assez modérée : polynomiale ou logarithmique) à l'écart initial et à la durée d'observation. La distance parcourue par une balle est dans ce cas : si on lance la balle "un peu" plus fort, elle ira "un peu" plus loin, et l'écart est calculable sans difficultés ;
- les systèmes complexes ou chaotiques aboutissent à un résultat qui ne dépend pas tellement de l'écart initial, parce que la différence évolue de façon "gravement" non linéaire, c'est-à-dire exponentielle voire contradictoire ; une petite variation positive peut se traduire au final par une grosse variation, éventuellement négative. Un exemple assez simple, complètement déterministe et réversible, de système complexe est une pâte soumise à la transformation du boulanger : allonger la pâte, la replier, et recommencer ; en quelques itérations, deux points de la pâte initialement très proches peuvent se retrouver au final très éloignés et réciproquement.
Une des façons de mesurer le degré de complexité est de mesurer la durée nécessaire pour que la différence initiale soit multipliée par 10. Cette méthode est appelée temps caractéristique. Elle permet de savoir à quel point un système est chaotique. Les phénomènes météorologiques ont un temps caractéristique très bref, de l'ordre de la journée, alors que la rotation d'une planète seule autour d'un soleil a un temps caractéristique de plusieurs centaines de millions d'années.
Cela ne signifie pas toutefois que les systèmes chaotiques soient totalement imprévisibles. Pour les phénomènes météorologiques, malgré la complexité des facteurs permettant de prévoir mathématiquement leur évolution avec précision, on peut toutefois prédire qu'il fera en moyenne plus chaud et plus sec en été qu'en hiver, et qu'il fera plus chaud dans le Sahara qu'au Pôle Nord.
Le système n'est donc pas totalement aléatoire et on peut l'étudier. Pour un système à N paramètres, Henri Poincaré a proposé de le décrire dans un espace à N dimensions, appelé espace des phases. L'évolution du système dans cet espace se traduit par une courbe (ou une série de points), qui ne sont pas répartis de façon homogène ou aléatoire. Dans un système stable, on obtient typiquement une jolie spirale atterrisant en un point caractéristique de l'équilibre. Au contraire, un système chaotique montrera typiquement une courbe fractale, qui certes reste toujours dans certaines limites maximales et minimales et n'est pas "informe", mais qui n'est pas non plus réductible à une courbe simple. Ce type de courbe a été appelé attracteur étrange par le physicien David Ruelle. Les images visibles dans cet article sont deux vues du même attracteur étrange.
La théorie du chaos s'applique également à la distribution des planètes, parfaitement calculable en moyenne alors que le système compte bien plus que trois corps. En fait, peu importe le domaine étudié, seul compte l'espace des phases caractéristique du phénomène, or de nombreux phénomènes très divers peuvent avoir un espace des phases comparable.
[] Exemples
La fonction logistique <math> y = \mu x (1-x) </math>, quoique très simple, donne d'intéressant résultats lorsqu'on produit une série par itération à partir d'un nombre initialement entre 0 et 1 : en faisant croitre progressivement le paramètre <math> \mu</math> jusqu'à 4 (au-delà, le système diverge), on observe d'abord un système stable, puis un système cyclique, et puis enfin des systèmes chaotiques (avec quelques plages plus régulières).
[] Transformation du boulanger et ses variantes
La transformation du boulanger a de nombreuses variantes, qui toutes ont pour point commun de « faire remonter » très vite au niveau macroscopique d'infimes différences microscopiques, plus faible que la résolution de l'instrument utilisée.
[] Gravitation à N corps
Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à prédire le mouvement d'un mini-système solaire. Le but derrière cette recherche est de savoir si le système solaire est « stable » ou si un jour la terre risque de percuter une autre planète ou être éjectée du système solaire. Des calculs ont été faits en testant avec des points de départ légèrement différents des planètes actuelles pour tester les « marges ». Il a été montré que les marges sont faibles mais surtout que, hors de ses marges, le système solaire aurait été instable depuis longtemps.
[] Articles liés
[] Bibliographie
[] Ouvrages de vulgarisation
- James Gleick, La Théorie du chaos, Albin Michel (1989), ISBN 2-226-03635-0. Réédité par Flammarion (1991), ISBN . Ouvrage écrit par un journaliste.
- Amy Dahan Dalmedico, Jean-Luc Chabert & Karine Chemla (sous la direction de) ; Chaos & déterminisme, Points Sciences, Le Seuil (1992), ISBN 2-02-015182-0. Un ouvrage collectif au format poche, divisé en trois parties : Approches mathématiques, Physique & Calcul, et Quelques retours sur l'histoire et la philosophie, écrits par quelques-uns des meilleurs spécialistes actuels du domaine.
- David Ruelle ; Hasard & Chaos, Collection Opus 89, Editions Odile Jacob (1991), ISBN 2-7381-0665-X. Un remarquable ouvrage d'introduction au chaos au format poche par un expert, professeur de physique théorique à l'Institut de Hautes Études Scientifiques de Bures-sur-Yvette, et auteur de nombreuses contributions au domaine.
- Pierre Bergé, Yves Pomeau & Monique Dubois-Gance ; Des rythmes au chaos, Collection Opus 64, Editions Odile Jacob (1997), ISBN 2-7381-0524-6. Un autre ouvrage d'introduction au format poche, par des spécialistes français.
- Florin Diacu & Philip Holmes ; Celestial Encounters - The Origin of Chaos, Princeton University Press (1996), ISBN 0-691-00545-1. L'origine du "chaos" moderne se trouve dans les travaux pionniers d'Henri Poincaré réalisés à la fin du XIXe siècle à propos d'un vieux problème de mécanique newtonienne : le problème à N corps. Les auteurs du présent ouvrage, mathématiciens spécialistes du domaine, retracent élegamment l'histoire de ce problème et de ses développements de Poincaré à nos jours. Vulgarisation accessible à partir du premier cycle universitaire.
[] Textes techniques
- Pierre Bergé, Yves Pomeau & Christian Vidal ; L'ordre dans le chaos - Vers une approche déterministe de la turbulence, Hermann (1988), ISBN 2-7056-5980-3. Un ouvrage d'introduction au chaos par des experts français, accessible dès le premier cycle universitaire. Prix Henri Poincaré 1990 de l'Académie des Sciences.
- T. W. B. Kibble & F.H. Berkshire ; Classical Mechanics, Prentice Hall (4ème édition-1997), ISBN 058225972X . Un excellent cours d'introduction à la mécanique, des fondements newtoniens jusqu'au formalismes plus avancés de Lagrange et de Hamilton. Kibble est professeur émérite de Physique Théorique de l'Imperial College de Londres. Pour cette 4ème édition (avec un co-auteur), deux chapitres d'introduction aux idées de la théorie du chaos ont été inclus. Niveau : à partir du premier cycle universitaire. (N.B. : Il a existé une traduction française de l'édition précédente, publiée en son temps par Dunod.)
- Henri Poincaré ; Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, 3 volumes, Éditions Gauthiers-Villars (1892).
- Jacques Hadamard ; Les surfaces à courbures opposées et leurs lignes géodésiques, Journal de Mathématiques Pures & Appliquées 4 (1898) 27. Pour une revue plus récente, voir e.g. la référence suivante : Pierre Pansu ; Le flot géodésique des variétés Riemanniennes à courbure négative, Séminaire Bourbaki 738 (1991) publié dans : Astérisque 201-203 (1991) 269-298.
- Edward Lorenz, Deterministic non-periodic flow, Atmospheric Science 20 (1963) 130?141.
- Vladimir I. Arnold ; Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2ème édition-1989), ISBN 0-387-96890-3. Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes lagrangien & hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. A partir du second cycle universitaire.
- Vladimir I. Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt ; Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2ème édition-1993). Une synthèse de l'état de l'art en mécanique céleste, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine (Arnold) et ses collaborateurs. A partir du second cycle universitaire.
- Vladimir Arnold & André Avez ; Ergodic problems of classical mechanics, Advanced Book Classics, Addison-Wesley (1988), ISBN . Réédition d'un ouvrage classique écrit en 1968.
[] Lien externe
<references/>
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