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En algèbre linéaire, la trace d'une matrice carrée est définie comme la somme de ses éléments diagonaux ; la trace est une forme linéaire sur l'ensemble des matrices. Il est également possible de définir la trace d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie.
Dans tout l'article on considère des matrices à coefficients dans un corps <math>\mathbb \,\!</math>.
[] Trace d'une matrice carrée
Étant donnée une matrice carrée <math>A = (a_{i \, j})_{1 \leq i,j \leq n} \,\!</math>, on note sa trace <math>Tr(A) \,\!</math> et on la définit comme égale au scalaire :
<math>Tr(A) = \sum_^ a_{i \, i} </math>
Pour toutes matrices carrées <math>A \,\!</math> et <math>B \,\!</math> (de même ordre) et pour tout scalaire <math>\alpha \in \mathbb \,\!</math>, les propriétés suivantes sont vérifiées :
<math>
\begin
(P_1) & Tr(A + B) &=& Tr(A) + Tr(B) \\
(P_2) & Tr(\alpha A) &=& \alpha Tr(A) \\
(P_3) & Tr(A^T) &=& Tr(A) \\
(P_4) & Tr(AB) &=& Tr(BA) \\
\end
</math>
Autrement dit la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel <math>\mathcal_n(\mathbb) \,\!</math> des matrices carrées d'ordre <math>n \,\!</math> donné (propriétés 1 et 2), invariante par transposition (propriété 3).
La propriété 4 a pour corollaire important l'égalité suivante, valable pour toute matrice carrée <math>A \,\!</math> et pour toute matrice inversible <math>P \,\!</math> de même ordre :
<math>
\begin
(P_5) & Tr(P^AP) &=& Tr(A) \\
\end
</math>
Autrement dit la trace est un « invariant de similitude » pour les matrices carrées d'ordre donné. C'est cette propriété qui va nous permettre de définir la trace d'un endomorphisme « abstrait ».
[] Trace d'un endomorphisme
On se donne un espace vectoriel <math>E \,\!</math> de dimension finie et un endomorphisme <math>u \in L(E) \,\!</math> ; on veut définir la trace de <math>u \,\!</math>. Dès que l'on fixe une base <math>\mathcal \,\!</math> de <math>E \,\!</math>, on peut donner la représentation matricielle de <math>u \,\!</math> relativement à <math>\mathcal \,\!</math> : c'est une matrice <math>A \,\!</math>. On est tenté de définir la trace de <math>u \,\!</math> comme étant égale à celle de <math>A \,\!</math>.
Le problème est que cette définition dépend a priori du choix initial de la base <math>\mathcal \,\!</math>. La question est donc : la valeur ainsi définie dépend-t-elle vraiment du choix de la base ? Autrement dit, arrive-t-on à une valeur différente de la trace de <math>u \,\!</math> si on la calcule dans une autre base <math>\mathcal' \,\!</math> ? La réponse est heureusement non et ce grâce à la propriété 5 ci-dessus.
En effet si on note <math>A' \,\!</math> la matrice de <math>u \,\!</math> dans la nouvelle base <math>\mathcal' \,\!</math>, on a la relation dite « de changement de base » : <math>A'=P^AP \,\!</math>, où <math>P \,\!</math> désigne la matrice de passage de la base <math>\mathcal \,\!</math> à la base <math>\mathcal' \,\!</math>. Or d'après la propriété 5 : <math>Tr(P^AP)=Tr(A) \,\!</math>, donc <math>Tr(A')=Tr(A) \,\!</math>. Ainsi notre définition de la trace de <math>u \,\!</math> est intrinsèque c'est-à-dire indépendante du choix d'une base particulière pour son calcul. On la notera <math>tr(u) \,\!</math>.
On peut assez naturellement adapter les premières propriétés de la trace d'une matrice carrée à la trace d'un endomorphisme. Pour tous endomorphismes <math>u,v \in L(E) \,\!</math> et pour tout scalaire <math>\alpha \in \mathbb \,\!</math> les propositions suivantes sont vérifiées :
<math>
\begin
(P'_1) & tr(u + v) &=& tr(u) + tr(v) \\
(P'_2) & tr(\alpha u) &=& \alpha tr(u) \\
(P'_3) & tr(u^T) &=& tr(u) \\
(P'_4) & tr(u \circ v) &=& tr(v \circ u) \\
\end
</math>
De plus, pour <math>v \in GL(E) \,\!</math> (c'est-à-dire que <math>v \,\!</math> est un automorphisme) :
<math>
\begin
(P'_5) & tr(v^ \circ u \circ v) &=& tr(u) \\
\end
</math>
Autrement dit la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel <math>L(E) \,\!</math>, invariante par transposition et par conjugaison.
[] Propriétés
Toutes les propriétés qui suivent sont énoncées uniquement dans le cas des matrices carrées ; les énoncés parallèles pour les endomorphismes s'en déduisent facilement.
[] Trace et polynôme caractéristique
Considérons une matrice carrée <math>A \,\!</math> d'ordre <math>n \,\!</math> et notons <math>p_A \,\!</math> son polynôme caractéristique. On peut écrire <math>p_A(X) = X^n + a_ X^ + \cdots + a_1 X + a_0 \,\!</math>. La trace de <math>A \,\!</math> apparaît alors naturellement dans le développement de <math>p_A \,\!</math> puisqu'on a la relation :
<math>a_= -Tr(A) \,\!</math>.
[] Trace et réduction
Dans le cas où une matrice carrée <math>A \,\!</math> est trigonalisable (et a fortiori lorsqu'elle est diagonalisable) on peut donner une relation simple entre la trace de <math>A \,\!</math> et ses valeurs propres. Notons <math>(\lambda_i)_{1 \leq i \leq r} \,\!</math> ces valeurs propres et <math>(\nu_i)_{1 \leq i \leq r} \,\!</math> leurs ordres de multiplicité respectifs. Alors on a :
<math>Tr(A) = \sum_^r \nu_i \lambda_i \,\!</math>.
On peut obtenir cette relation en trigonalisant la matrice et en appliquant l'invariance de la trace par similitude, mais aussi en appliquant les relations entre coefficients et racines au polynôme caractéristique et en appliquant la propriété précédente.
[] Trace de la matrice d'une permutation
On peut représenter une permutation <math>\sigma \in \mathfrak_n\,\!</math> (où <math>\mathfrak_n \,\!</math> représente le groupe symétrique d'ordre <math>n \,\!</math>) par une matrice <math>M_=(m_{i \, j})_{1 \leq i,j \leq n} \,\!</math> carrée d'ordre <math>n \,\!</math>, définie par :
- <math>m_{i \, j} = 1 \,\!</math> si <math>\sigma(i)=j \,\!</math> ;
- <math>m_{i \, j} \,\!</math> sinon.
La trace de la matrice <math>M_ \,\!</math> s'interprète alors comme le nombre de points fixes de la permutation <math>\sigma \,\!</math> :
<math>Tr(M_) = Card \left\{ \, i \in \ \, | \, \sigma(i)=i \, \right\}\,\!</math>.
[] Divers
- La trace de la matrice identité d'ordre <math>n \,\!</math> est donnée par : <math>Tr(I_n) = n \,\!</math>.
- L'ensemble formé des matrices de trace nulle est un hyperplan de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre <math>n \,\!</math> donné.
- Soit E un <math>\mathbb K</math>-espace vectoriel de dimension n, <math>\mathbb K</math> étant un corps de caractéristique 0, et u un endomorphisme de E. Si <math>Tr(u)=Tr(u^2) = \cdots =Tr(u^n) =0</math> alors <math>u^n = 0</math>.
- La trace d'un projecteur <math>p \,\!</math> est égale à son rang : <math>Tr(p)=rg(p) \,\!</math>.
- La trace d'une rotation plane d'angle <math>\theta \,\!</math> est donnée par : <math>Tr(R_)=2 \cos \theta \,\!</math>.
- Plus généralement pour tout entier <math>n \geq 2 \,\!</math>, la trace d'une rotation d'axe <math>\Delta \,\!</math> et d'angle <math>\theta \,\!</math> dans l'espace à <math>n \,\!</math> dimensions est donnée par : <math>Tr(R_{\Delta , \theta})=n-2+2 \cos \theta \,\!</math>.
- La trace de la matrice d'adjacence d'un graphe est nulle.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Trace (algèbre)
