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- Pour les articles homonymes, voir Triangle (homonymie). Image:Disambig.svg
En géométrie, un triangle se définit rigoureusement sur une surface comme une figure fermée à trois côtés, ces trois côtés étant des arcs de géodésiques de cette surface. Cette surface peut être entre autres sphérique, hyperbolique ou plane, et les triangles correspondants sont dits sphériques, hyperboliques ou plans.
Ce dernier cas a cependant une telle importance pratique qu'en l'absence d'autre précision, un triangle est un triangle plan. C'est donc un polygone à trois côtés. Trois points non alignés (les sommets) suffisent à définir un triangle (à propos de la détermination d'un triangle, voir Résolution d'un triangle).
[] Typologie des triangles
Les triangles peuvent être classés de deux manières :
[] Suivant leurs symétries
Un triangle ayant deux côtés de même longueur (ou deux angles de même grandeurs) est dit isocèle. Un triangle ayant ses trois côtés de même longueur (ou ses trois angles de même grandeurs) est dit équilatéral. Un triangle ne présentant pas de symétrie particulière est dit scalène.
[] Suivant leurs angles
Rappelons qu'un angle est droit s'il vaut 90° (ou ?/2 radians), aigu s'il est plus petit qu'un angle droit (c'est-à-dire s'il vaut moins de 90°) et obtus s'il est plus grand qu'un angle droit (c'est-à-dire s'il vaut plus de 90°).
Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180° (voir ci-dessous Propriétés en géométrie euclidienne), un triangle ne peut pas comporter deux angles droits ou obtus. Il a donc au moins deux angles aigus. Si le troisième angle est obtus, on parle de triangle obtusangle (ou parfois de triangle obtus). S'il est aigu, on parle de triangle acutangle (ou de triangle aigu).
Enfin un triangle présentant un angle droit est qualifié de triangle rectangle. Dans ce cas, le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse et les deux autres angles sont les côtés adjacents à l'angle droit.
[] Triangles particuliers
[] Triangle 3-4-5
C'est un triangle rectangle dont les côtés forment une progression (3, 4, 5).
Ce cas particulier d'un triangle rectangle est connu depuis l'Antiquité. Il est facile à réaliser à l'aide de trois cordes : on l'utilise donc pour tracer un angle droit au sol. Pour cette raison, on l'appelle aussi triangle des arpenteurs.
[] Demi-carré
Un triangle
demi-carré est un triangle à la fois rectangle et isocèle. Ses deux angles aigus mesurent nécessairement 45° (ou ?/4 rad).
C'est le triangle obtenu en divisant un carré en deux suivant sa diagonale, d'où le nom du triangle.
[] Triangle 30-60-90
C'est un triangle rectangle dont les angles font 30°, 60° et 90°, c'est-à-dire forment une progression (1, 2, 3). Les côtés forment quand à eux une progression (1,<math>\sqrt</math>, 2).
Ce triangle est parfois aussi appelé « triangle de l'écolier » : les équerres d'écolier ont cette forme. On parle aussi de « triangle hémi-équilatéral ». Cette dernière appellation se justifie en remarquant qu'un triangle équilatéral peut être coupé suivant un axe reliant l'un de ses sommets au milieu du côté opposé, pour donner deux triangles 30-60-90 égaux.
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[] Éléments remarquables du triangle
On nomme un triangle en citant le nom de ses sommets, par exemple ABC.
En général, pour nommer les longueurs des côtés, on utilise le nom de l'angle opposé, en minuscules : <math>a = BC</math>, <math>b = AC</math>, <math>c = AB</math>. On nomme les angles en utilisant des lettres grecques minuscules : <math>\alpha = \widehat</math>, <math>\beta = \widehat</math>, <math>\gamma = \widehat</math>.
Nous utilisons ces notations dans cet article.
[] Médianes et centre de gravité
On appelle médiane du triangle toute droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Chacune des trois médianes divise le triangle en deux triangles d'aires égales.
Les trois médianes d'un triangle se coupent en un même point <math>G\,</math> qui est le centre de gravité du triangle. Si le triangle était une plaque solide homogène, on pourrait le faire tenir en équilibre sur une pointe en le posant exactement sur le point <math>G</math>.
<math>G</math> est le barycentre des points <math>(A,1)</math>, <math>(B,1)</math>, <math>(C,1)</math>. De ce fait, si <math>I</math> désigne le milieu du côté <math>[BC]</math> on a la relation vectorielle <math>\overrightarrow = \frac \overrightarrow</math>. Cette relation s'applique également aux autres sommets du triangle vis-à-vis du milieu du côté opposé.
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[] Hauteurs et orthocentre
On appelle hauteur l'une des trois droites passant par un sommet du triangle et perpendiculaire au côté opposé. L'intersection de la hauteur et du côté opposé s'appelle le pied de la hauteur.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection s'appelle l'orthocentre du triangle.
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[] Médiatrices et cercle circonscrit
On appelle médiatrice du triangle l'une quelconque des médiatrices des trois segments <math>[AB]</math>, <math>[AC]</math> et <math>[BC]</math>.
Si on note <math>\Omega</math> l'intersection des deux médiatrices des segments <math>[AB]</math> et <math>[AC]</math> alors <math>\Omega</math> est à égale distance de <math>A</math>, <math>B</math> et <math>C</math> : par suite <math>\Omega</math> est aussi sur la médiatrice du segment <math>[BC]</math>. Les trois médiatrices d'un triangle sont donc concourantes.
Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle. C'est le seul cercle passant à la fois par les trois sommets du triangle.
[] Bissectrices et cercle inscrit
- Voir Cercles inscrit et exinscrits d'un triangle
Les bissectrices du triangle sont simplement les trois bissectrices des angles du triangles.
La bissectrice de deux droites est l'ensemble des points à égale distance des deux droites : de ce fait le point d'intersection <math>O</math> de deux bissectrices est à égale distance des droites <math>(AB)</math>, <math>(AC)</math> et <math>(BC)</math>. Ce point est donc sur la troisième bissectrice : les trois bissectrices sont concourantes.
D'après les propriétés des bissectrices, on peut tracer un cercle de centre <math>O</math> qui est tangent aux trois droites <math>(AB)</math>, <math>(AC)</math> et <math>(BC)</math> : c'est le cercle inscrit dans le triangle. Il existe trois autres cercles ayant la même propriété qu'on appelle cercles exinscrits du triangle.
Remarque : les noms de hauteurs, médianes, médiatrices ou bissectrices désignent non seulement les droites indiqués ci-dessus, mais aussi les segments de ces droites intérieurs au triangle.
[] Autres éléments remarquables
Les trois points <math>H</math>, <math>G</math> et <math>\Omega</math> sont alignés sur une droite appelée droite d'Euler du triangle.
Par ailleurs les milieux des trois côtés ainsi que les trois pieds des hauteurs sont sur un même cercle dénommé cercle d'Euler du triangle.
On peut dénombrer des centaines de points remarquables d'un triangle. Pour les plus fameux d'entre eux, voir l'article liste des éléments remarquables d'un triangle.
[] Propriétés en géométrie euclidienne
[] Somme des angles d'un triangle
La somme des mesures des angles est égale à 180 ° (ou ? rad).
Ceci se voit aisément en traçant la parallèle à <math>AB</math> passant par <math>C</math> et en utilisant les propriétés des angles entre deux droites parallèles (c'est la démonstration d'Euclide dans ses Éléments, proposition I-32).
On en déduit par exemple que les angles d'un triangle équilatéral valent 60 ° (ou ?/3 rad).
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[] Périmètre d'un triangle
Le périmètre d'un triangle est la somme des longueurs des 3 côtés soit <math>a+b+c</math>.
[] Aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est l'aire de la portion du plan qu'il enferme. Il existe plusieurs manières de la calculer, selon les informations dont on veut partir.
[] À partir des longueurs des trois côtés
- Voir Aire de surfaces usuelles
Comme un triangle rectangle peut-être obtenu en divisant en deux parties égales un rectangle selon sa diagonale, l'aire d'un triangle rectangle en <math>A</math> est simplement le demi produit des longueurs <math>b</math> et <math>c</math> soit <math>S=\frac12 b \times c</math>.
En traçant une hauteur d'un triangle quelquonque, on peut le décomposer en deux triangles rectangles. En utilisant la formule précédente, on trouve alors que l'aire d'un triangle est simplement le produit de la longueur de la hauteur <math>h</math> par la longueur du côté opposé (ici <math>a</math>) soit <math>S=\frac12 a \times h</math>.
On peut aussi utiliser la formule de Héron d'Alexandrie :
<math>S = \sqrt</math>
où <math> p = \frac12 (a+b+c)</math> est le demi-périmètre du triangle.
[] À partir des vecteurs
L'aire du parallélogramme défini par deux vecteurs <math>\overrightarrow</math> <math>\overrightarrow</math> est la norme leur produit vectoriel :
<math> S_p = \left\|{ \overrightarrow \wedge \overrightarrow}\right\| </math>
On peut calculer l'aire d'un triangle à partir de cette formule :
<math> S = \frac12 \left\|{ \overrightarrow \wedge \overrightarrow}\right\||</math>
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[] Relations métriques dans un triangle
Notations :
- p désigne le demi-périmètre du triangle : <math> p = \frac12 (a+b+c)</math> ;
- S désigne la surface du triangle ;
- R désigne le rayon du cercle circonscrit ;
- h désigne la hauteur relative au coté BC de longueur a ;
- r désigne le rayon du cercle inscrit ;
- <math>S=\frac=pr=\frac</math>
- Avec <math>\hat A + \hat B + \hat C = \pi</math>, les 2 dernières formules sont à la base des méthodes de triangulation en géodésie et astronomie.
[] Triangles semblables et isométriques
Deux triangles sont isométriques lorsque l'un est une image de l'autre par transformation de type : rotation, translation et/ou symétrie.
Deux triangles sont semblables lorsque leurs 3 angles sont respectivement égaux deux à deux.
[] Dans l'espace
Le triangle est la forme des faces de nombreux polyèdres réguliers : tétraèdre (quatre faces qui sont des triangles équilétéraux, c'est la pyramide à base triangulaire), octaèdre (huit face, les pyramides égyptiennes sont des demi-octaèdres), icosaèdre (vingt faces)...
[] Propriétés en géométrie non euclidienne
Cette fois, la somme des angles d'un triangle est différente de 180°.
Un triangle sphérique à en effet une somme de ses angles supérieure à 180°
Il existe donc des triangles rectangle, birectangle ou trirectangle qui possèdent respectivement un, deux et trois angles droits.
[] Voir aussi
[] Articles connexes
lt:Trikampis
lv:Tr?sst?ris
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Triangle équilatéral
