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[] Définitions
Un triplet pythagoricien est un triplet d'entiers naturels non nuls (x, y, z) vérifiant la relation de Pythagore :
- x2 + y2 = z2
Triplets primitifs
Nous dirons qu'un triplet pythagoricien est primitif si les 3 naturels x, y, z sont premiers entre eux.
Remarque: Cette définition équivaut à l'affirmation: 2 des naturels x, y, z sont premiers entre eux (immédiat puisque un diviseur premier commun de 2 des nombres divisera le troisième).
Il est évident qu'on obtiendra tous les triplets pythagoriciens par multiplication des 3 nombres par un naturel non nul. On peut donc se contenter d'obtenir les triplets primitifs.
Remarquons que si on divise par z2, on obtient :
- <math>
\frac + \frac = 1
</math>
C?est-à-dire que les triplets pythagoriciens permettent de trouver les points à coordonnées rationnelles (donnés par <math>\frac,\frac</math>) sur le cercle trigonométrique.
[] Lemme préliminaire
Si (x,y,z) est un triplet pythagoricien primitif, alors x et y sont de parités différentes.
En effet x et y ne peuvent être tous deux pairs en vertu de la remarque ci-dessus. D'autre part, s'ils étaient tous deux impairs en posant x=2s+1 et y=2t+1 on voit que <math> z^2=x^2+y^2</math> serait de la forme <math>4m+2</math>, ce qui est impossible puisqu'un tel naturel ne peut être un carré (un naturel pair qui est un carré ne peut être que le carré d'un nombre pair 2q et ce carré <math> 4q^2</math> est multiple de 4).
[] Théorème fondamental
Il y a équivalence entre
- (i) <math>\quad (x,y,z)</math> est un triplet pythagoricien primitif avec x impair.
- (ii) Il existe <math> (p,q) \in \mathbb N^ </math> avec p>q , p et q premiers entre eux et de parités différentes tels que
- <math>\quad x=p^2-q^2</math>
- <math>\quad y=2pq</math>
- <math>\quad z=p^2+q^2</math>
Démonstration
- (i)<math>\Rightarrow</math>(ii)
y étant pair, posons y=2u (u <math>\in \mathbb N^*)</math>. On a donc z2-x2=4u2, soit (z+x)(z-x)=4u2.
Comme z+x et z-x sont pairs (x et z impair), posons z+x=2s et z-x=2t (s et t<math> \in N^*)</math>. Il vient alors
- x=s-t, z=s+t, st=u 2.
s et t sont premiers entre eux. En effet tout diviseur premier commun de s et t diviserait s+t=z et s-t=x, ce qui est impossible (cf. remarque sur les triplets primitifs). Chaque diviseur premier de st=u2 ne peut donc diviser à la fois s et t et, comme u2 est un carré, l'exposant de ce diviseur premier est pair dans celui des 2 nombres s et t où ce diviseur premier figure. Il en résulte que s et t sont des carrés de naturels (non nuls) puisque chacun de leurs diviseurs communs a un exposant pair. On peut donc poser s=p2 et t=q2.
On a donc bien x=p2-q2 et z=p2+q2. De plus st=u2, soit p2q2=u2 et donc u=pq d'où y=2pq. Comme s et t sont premiers entre eux, il en est de même de p et q. Comme x>0 on a p>q. Enfin p et q ne peuvent être de même parité puisque alors x=p2-q2 serait pair.
- (ii)<math>\Rightarrow</math>(i)
(ii) entraîne immédiatement par un simple calcul que x2+y2=z2. D'autre part, comme p et q sont de parités différentes, x est nécessairement impair. Si x et z avaient un diviseur premier commun, ce diviseur diviserait z+x et z-x, soit 2p2 et 2q2. Comme ce diviseur premier ne peut être 2 (x impair), il diviserait p2 et q2 et donc p et q, ce qui est impossible puisque p et q sont premiers entre eux.
CQFD
[] Exemples de triplets primitifs
| ( 3, 4, 5 )
| (20, 21, 29)
| (11, 60, 61)
| (13, 84, 85)
|
| ( 5, 12, 13)
| (12, 35, 37)
| (16, 63, 65)
| (36, 77, 85)
|
| ( 8, 15, 17)
| ( 9, 40, 41)
| (33, 56, 65)
| (39, 80, 89)
|
| (7, 24, 25)
| (28, 45, 53)
| (48, 55, 73)
| (65, 72, 97)
|
[] Voir aussi
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/Triplet pythagoricien
