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Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble d'autres. Il correspond
On l'utilise également ce concept pour la construction de courbes de Bézier.
[] Un peu d'histoire
[] En physique
Le barycentre de barus (poids) et centre est initialement le centre des poids. C'est donc une notion physique et mécanique. Le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids (ce qu'on appelle de nos jours le centre de gravité) est le mathématicien et physicien Archimède. Il est un des premiers à comprendre et expliciter le principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Il écrit dans son traité Sur le centre de gravité de surface plane:
« Tout corps pesant a un centre de gravité bien défini en lequel tout le poids du corps peut être considéré comme concentré. »
Son principe des moments et des leviers lui permet de construire assez simplement le barycentre O de deux points de masse <math>m_1</math> et <math>m_2</math> différentes.
- Image:Barycentre1.png
- Pour que la balance soit en équilibre, il faut que les moments <math>m_1\times OA</math> et <math> m_2 \times OB</math> soit égaux. Si par exemple la masse <math>m_1</math> est 4 fois plus importante que la masse <math>m_2</math>, il faudra que la longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB. Cette condition se traduit de nos jours par l'égalité vectorielle
- <math> m_1\overrightarrow+ m_2\overrightarrow=\vec 0 </math>
C'est le premier à avoir cherché des centres de gravité de surface comme des demi-cercles, des paraboles. Il procède par approximations successives et a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celle du calcul d'aire. Son travail est prolongé par celui de Paul Guldin ( 1635/1640) dans son traité Centrobaryca et celui de Leibniz à qui l'on doit la fonction vectorielle de Leibniz.
La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est une notion dégagée par Huygens (1654), lors de l'établissement de sa théorie des chocs : même s'il sait que P = P0, il n'est pas évident pour lui que G ira à vitesse constante. En particulier au moment de la percussion, où des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement bris de la cible, G n'en continue pas moins IMPERTURBÉ son mouvement : cela paraît mirifique à Huygens, qui ne connaît pas encore le calcul différentiel. C'est alors qu'il énonce le principe de mécanique :
« Le barycentre d'un système matériel se meut comme si toute la masse du système y était transportée, les forces extérieure du système agissant toute sur ce barycentre »
On peut remarquer le glissement subtil entre barycentre, centre des poids (= centre de gravité) comme le voyait Archimède et barycentre, centre des masses (= centre d'inertie).
[] Autres champs d'application
Le barycentre, créé dans le cadre de la physique et de la mécanique, s'est vite révélé très utile dans bien d'autres domaines.
En géométrie, il permet de repérer des points par rapport à d'autres points : ce sont les coordonnées barycentriques. C'est l'outil privilégié pour démontrer des alignement et des concours. On peut dire que la géométrie vectorielle est la géométrie des vecteurs et des combinaisons linéaires alors que la géométrie affine est celle des points et des barycentres.
En statistique, il permet le calcul et la représentation des moyennes pondérées. En probabilité, on le retrouve dans l'espérance mathématique.
En logistique, c'est un outil puissant de décision.
En Chimie, il permet de calculer la polarité d'une molécule
[] Développement mathématique
[] Barycentre de deux points dans le plan ou dans l'espace
On démontre que, pour tous réels a et b tels que a + b soit non nul, il existe un unique point G tel que
- <math>a\overrightarrow + b\overrightarrow = \vec 0</math>.
Ce point G est appelé le barycentre du système pondéré <math>\{(A,a); (B,b)\}</math>. On peut remarquer que, d'emblée, cette définition se place dans un cadre plus général que celui étudié par Archimède, puisqu'il accepte des pondérations nulles, voire négatives. Cette définition permet de prouver rapidement que les points A, B et G sont toujours alignés, que le point G est sur le segment [AB] si et seulement si les pondérations sont de même signe et qu'il est toujours plus proche du point dont la pondération est la plus forte en valeur absolue. Réciproquement, on démontre que, si A et B sont distincts, tout point M de la droite (AB) peut s'écrire comme barycentre des points A et B. Les pondérations obtenues sont appelées les coordonnées barycentriques du point M.
On remarque aussi que le point G ne change pas si l'on multiplie les pondérations par un même réel non nul. Cette propriété s'appelle l'homogénéité.
Le barycentre permet de simplifier l'expression vectorielle <math>a\overrightarrow + b\overrightarrow</math>, pour tout point M:
- <math>a\overrightarrow + b\overrightarrow = (a+b)\overrightarrow</math>.
Cette propriété s'appelle la propriété de réduction. Elle permet de positionner le point G par rapport à tout point M. Si M est l'origine d'un repère du plan ou de l'espace, elle permet de définir les coordonnées du point G
- <math>x_G = \frac \quad y_G = \frac\quad z_G = \frac</math>
[] Barycentre de trois points dans le plan ou dans l'espace
La définition peut se généraliser à trois points : pour tous réels a, b et c tels que a + b + c soit non nul, il existe un unique point G tel que
- <math>a\overrightarrow + b\overrightarrow + c\overrightarrow= \vec 0</math>
appelé barycentre du système pondéré <math>\{(A,a); (B,b); (C,c)\}</math>. Les points G, A, B et C sont toujours coplanaires et on démontre que , si A, B, C définissent un plan, tous les points M de ce plan peuvent s'écrire comme barycentre de A, B et C. les pondérations s'appelle alors coordonnées barycentrique de M dans le repère A, B et C
Comme pour le barycentre de deux points, le barycentre de trois point permet de réduire l'expression vectorielle <math>a\overrightarrow + b\overrightarrow + c\overrightarrow </math>, pour tout point M:
- <math>a\overrightarrow + b\overrightarrow + c\overrightarrow = (a+b+c)\overrightarrow</math>
Ce qui permet, en remplaçant M par l'origine du repère, de donner les coordonnées du point G
- <math>x_G = \frac{ax_A+bx_B + cx_c} \quad y_G = \frac \quad z_G = \frac</math>
Ce barycentre possède en outre une propriété dite d'associativité ou de barycentre partiel : si a + b est non nul et si <math>G_1</math> est le barycentre du système <math>\{(A,a); (B,b)\}</math>, alors G est le barycentre du système<math> \{(G_1,a+b); (C,c)\}</math>. Cela signifie que la construction du barycentre de trois points peut se ramener à la construction de barycentres de deux points.
Cette propriété simplifie grandement les problèmes d'alignement et de concours.
[] Barycentre de n points
On peut généraliser la définition à n points dans un espace affine E quelconque . On définit alors une fonction f de E dans <math>\vec E</math>, appelée fonction vectorielle de Leibniz :
- <math>\overrightarrow = \sum_{i = 1}^n a_i\overrightarrow</math>
On démontre que si <math>\sum_{i = 1}^n a_i</math> est non nul, la fonction s'annule pour un unique point G appelé barycentre du système <math>\_</math>. Ce point G est toujours dans le sous-espace affine engendré par les <math>(A_i)</math>. Réciproquement, si les <math>A_i</math> constituent une famille libre de n points d'un sous-espace affine F de dimension n - 1, tout point M de F peut s'écrire comme barycentre des points (<math>A_i</math>). Les pondérations s'appellent les coordonnées barycentriques de G dans le repère (<math>A_i</math>).
Le barycentre permet de simplifier la fonction vectorielle de Leibniz : pour tout point M
- <math>\overrightarrow = \left(\sum_{i = 1}^n a_i\right) \overrightarrow</math>
Les coordonnées sont données par les formules , pour j = 1 à ... dimension de l'espace
- <math>x_ = \frac{\sum_{i = 1}^n a_i x_ }{\sum_{i = 1}^n a_i }</math>
[] Barycentre d'une infinité de points
Si l'ensemble est dénombrable, on généralise les formules précédentes à une série. Si l'ensemble constitue une domaine D continu, à chaque point M du domaine on affecte une densité g(M) où g est une fonction continue.
La fonction vectorielle de Leibnitz s'écrit alors
- <math>\overrightarrow = \int_D g(M)\overrightarrowdv</math> dans l'espace ou <math>\int_D g(M)\overrightarrowds</math> dans le plan .
Le barycentre est alors le point G qui annule cette fonction. Si les points M ont pour coordonnées <math>(x_1;x_2,x_3)</math> la fonction de densité s'écrit <math>g(x_1,x_2,x_3)</math> et les coordonnées de G s'écrivent
- <math>x_ = \frac{\int\int\int (g(x_1 , x_2 , x_3) \cdot x_) \cdot dx_1 \cdot dx_2 \cdot dx_3}{\int\int\int g(x_1 , x_2 , x_3) \cdot dx_1 \cdot dx_2 \cdot dx_3 },\ j \in \</math>
Si l'on se ramène à une dimension, ou bien si l'on considère chaque coordonnée séparément, on retrouve la formule de la moyenne pondérée :
- <math>x_ = \frac{\int (g(x)\cdot x ) \cdot dx}{\int g(x) \cdot dx}</math>
[] Développements physiques
[] Centre d'inertie
En mécanique, le centre d'inertie, d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par sa masse propre. C'est donc le point par rapport auquel la masse est uniformément répartie.
Dans le cas d'un corps continu <math>\mathcal</math>, on emploie comme fonction de pondération la masse volumique ? du corps. Dans ce cas, la position du centre d'inertie G est défini par la relation suivante (O étant un point quelconque de l'espace) :
- <math>\vec=\frac} \rho(M)\cdot \vec\cdot dV}} \rho(M)\cdot dV}</math> ou <math>\int_} \rho(M)\cdot \vec\cdot dV=0</math>
Le centre d'inertie ne dépend donc que de la masse volumique et de la forme du corps. C'est une caractéristique intrinsèque.
Une propriété étonnante du centre d'inertie est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force nouvelle. Ainsi par exemple si un obus éclate en vol, le centre d'inertie de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole comme si de rien n'était (aux effets de résistance de l'air près) avant, pendant et après l'explosion.
Attention: Ceci ne s'applique évidemment pas à un obus balistique ou un astéroïde, précisément parce que la force sur chaque éclat d'obus varie.
[] Centre de gravité
Le centre de gravité d'un corps correspond au "barycentre" des particules qui composent le corps en question ; chaque particule étant pondérée par son poids propre.
la position du centre de gravité Gg est défini par la relation suivante (<math>\vec(M)</math> étant le champ de gravité au point M):
- <math>\int_} \vec \wedge \rho(M)\vec(M)dV=\vec</math>
Il est à noter que le centre de gravité est fondamentalement lié au champ de gravité dans lequel le corps est plongé. Il n'existe pas forcément !
Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la terre, on considère un champ de gravité uniforme. Sous cette hypothèse, le centre de gravité et le centre d'inertie sont confondus.
[] Articles liés
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/barycentre
