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Les différentes classes de régularité sont définies à partir des dérivées itérées des fonctions, et de la continuité éventuelle de ces dérivées.
Si <math>I \,\!</math> est un intervalle de <math>\R \,\!</math>, et <math>k \geq 1</math> un entier on note <math>\mathcal^k(I,\R) \,\!</math> l'ensemble des fonctions de <math>I \,\!</math> vers <math>\R \,\!</math> qui sont <math>k \,\!</math> fois dérivables. On note <math>\mathcal^k(I,\R) \,\!</math> le sous-ensemble de <math>\mathcal^k(I,\R) \,\!</math> formé par les fonctions dont la <math>k \,\!</math>-ième dérivée est continue, et on note <math>\mathcal^0(I,\R) \,\!</math> l'ensemble des fonctions continues de <math>I \,\!</math> vers <math>\R \,\!</math>. Enfin on note <math>\mathcal^(I,\R) \,\!</math> l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivables de <math>I \,\!</math> vers <math>\R \,\!</math>.
On a la suite d'inclusions :
<math>\mathcal^0(I,\R) \supset \mathcal^1(I,\R) \supset \mathcal^1(I,\R) \supset \mathcal^2(I,\R) \supset \mathcal^2(I,\R) \supset \cdot\cdot\cdot \supset \mathcal^k(I,\R) \supset \mathcal^k(I,\R) \supset \mathcal^(I,\R) \supset \mathcal^(I,\R) \supset \cdot\cdot\cdot \supset \mathcal^(I,\R) \,\!</math>.
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/classe de régularité
