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En mathématiques, une conjecture est une assertion qui a été proposée comme vraie, mais que personne n'a pu démontrer ou réfuter. Une conjecture peut également être appelée une hypothèse.
Quand il se trouve qu'une conjecture est vraie, elle devient un théorème, et rejoint le royaume des faits mathématiques. Jusqu'à ce point, les mathématiciens doivent faire extrêmement attention lorsqu'ils intègrent une conjecture dans leurs structures logiques.
Par exemple, l'hypothèse de Riemann est une conjecture de la théorie des nombres qui (entre autres choses) fait des prévisions sur la distribution des nombres premiers. Peu de théoriciens des nombres doutent du fait que l'hypothèse de Riemann soit vraie. En attente de sa preuve éventuelle, certains développent d'autres démonstrations qui reposent sur la vérité de cette conjecture. Ces « preuves », cependant, tomberaient en morceaux si l'hypothèse se révélait fausse (ou indécidable ; voir la remarque ci-dessous); il y a donc un intérêt considérable à vérifier la vérité ou la fausseté des conjectures de ce type.
Bien que la plupart des conjectures les plus célèbres aient été vérifiées pour des kyrielles étonnantes de nombres, cela ne constitue pas une garantie contre un simple contre-exemple, qui réfuterait immédiatement la conjecture. Par exemple, la conjecture de Syracuse, qui concerne l'arrêt d'une certaine suite de nombres entiers, a été examinée pour tous les nombres entiers jusqu'à 1,2 × 1012 (plus d'un million de millions); cependant, elle a toujours seulement le statut d'une conjecture - peut-être existe-t-il un contre-exemple que les chercheurs trouveront en 1,2 × 1012 + 1.
Toutes les conjectures ne finissent pas par être établies comme vraies ou fausses. L'hypothèse du continu, qui essaye d'établir la cardinalité relative de certains ensembles infinis, s'est par la suite avérée indécidable de l'ensemble d'axiomes, généralement admis de la théorie des ensembles. Il est donc possible d'adopter cette assertion, ou sa négation, comme nouvel axiome de façon cohérente (nous pouvons par exemple supposer le postulat de la parallèle d'Euclide comme vrai ou faux).
Les conjectures célèbres incluent:
Jusqu'à sa preuve en 1995, la plus célèbre de toutes les conjectures était celle qui était surnommée le dernier théorème de Fermat. Ce n'est qu'après sa démonstration que cette conjecture devint un théorème (vrai). La démonstration consista à prouver un cas particulier de la conjecture de Taniyama-Shimura, un problème en attente de résolution depuis une quarantaine d'années ; on savait en effet que le dernier théorème de Fermat découlait de ce cas particulier. La conjecture de Taniyama-Shimura a été entièrement démontrée par la suite.
Le programme de Langlands est un enchaînement de grande envergure qui vise l'unification des conjectures qui relient différents champs des mathématiques : la théorie des nombres et la théorie de la représentation des groupes de Lie ; certaines de ces conjectures ont été depuis démontrées.
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