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Le système de coordonnées polaires est un système de coordonnées dans lequel un point M de l'espace est repéré par au moins une distance et un angle.
[] Coordonnées circulaires (coordonnées polaires dans le plan)
Dans le plan, un point est repéré par les deux coordonnées (r,?) ; il n'y a pas, dans ce cas, de différence entre le système sphérique et cylindrique ; on parle de coordonnées circulaires.
Image:Coordonnees polaires plan.png
Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes (x,y) se fait par :
- <math> x = r \cdot \cos \theta</math>
- <math> y = r \cdot \sin \theta</math>
et dans l'autre sens
- <math> r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
- <math> \theta = \arctan \left ( \frac \right ) + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname (y) </math>
où u0 est la fonction de Heaviside qui vaut 0 si x est négatif ou nul et 1 si x est positif, et sgn(y) est le signe de y (-1 si y est négatif, +1 si y est positif).
[] Coordonnées sphériques
Dans l'espace à trois dimensions, un point M est repéré par :
- sa distance ? à l'origine O du répère (c'est-à-dire <math>||\overrightarrow ||</math>) ;
- l'angle ? que fait la projection du vecteur <math>\overrightarrow </math> sur le plan Oxy par rapport à Ox ;
- l'angle ? que fait le vecteur <math>\overrightarrow </math> par rapport à Oz (coordonnées sphériques).
Image:Cordonnees spheriques.png
Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par :
- <math> x = r \cdot \sin\phi \cdot \cos\theta </math>
- <math> y = r \cdot \sin\phi \cdot \sin\theta </math>
- <math> z = r \cdot \cos\phi </math>
si l'on dérive, on obtient
- <math>
\begin dx \\ dy \\ dz \end
=
\begin
\sin \phi \cdot \cos\theta & -r \cdot \sin \phi \cdot \sin\theta & r \cdot \cos\phi \cdot \cos\theta \\
\sin\phi \cdot \sin\theta & r \cdot \sin\phi \cdot \cos\theta & r \cdot \cos\phi \cdot \sin\theta \\
\cos\phi & 0 & -r \cdot \sin\phi
\end
\cdot
\begin dr \\ d\theta \\ d\phi \end
</math>
Dans l'autre sens :
- <math> r = \sqrt </math>
- <math> = \arctan \frac + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname (y) </math>
- <math> \phi = \arccos \frac = \arccos \frac}</math>
et en dérivant :
- <math>
\begin dr \\ d\theta \\ d\phi \end
=
\begin
\frac & \frac & \frac \\
\frac & \frac & 0 \\
\frac} & \frac} & \frac}
\end
\cdot
\begin dx \\ dy \\ dz \end
</math>
[] Généralisation des coordonnées sphériques : angles d'Euler
Si l'on ne s'intéresse qu'à l'orientation dans l'espace, on n'utilise pas ?, pas contre, il faut définir un troisième angle ? qui est la rotation autour de l'axe OM. Cette généralisation des coordonnées sphériques (?,?,?) est en fait une définition des angles d'Euler, mais avec des rotations différentes des rotations habituelles :
- rotation d'un angle ? autour de Oz, Oxyz devient Ouvz ;
- rotation d'un angle ? autour de Ov, Ouvz devient Ox'vw ;
- rotation d'un angle ? autour de Ox' , Ox'vw devient Ox'y'z' .
Image:Orientation coordonnees spheriques generalisees.png
Cette définition n'est pas utilisée, mais elle est présentée ici à titre pédagogique : elle permet de comprendre simplement la notion d'orientation et d'angle d'Euler lorsque l'on a compris celle de coordonnées sphériques.
[] Coordonnées cylindriques
Dans l'espace à trois dimensions, un point M est repéré par
- la distance r de l'origine à sa projection sur Oxy ;
- l'angle ? que fait la projection du vecteur <math>\overrightarrow </math> sur le plan Oxy par rapport à Ox ;
- la hauteur h du point par rapport au plan Oxy.
Image:Coordonnees cylindriques.png
Le passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées cartésiennes (x,y,z) se fait par :
- <math> x = r \cdot \cos\theta</math>
- <math> y = r \cdot \sin\theta</math>
- <math> z = h</math>
soit en dérivant
- <math>
\begin dx \\ dy \\ dz \end
=
\begin
\cos\theta & -r \cdot \sin\theta & 0 \\
\sin\theta & r \cdot \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end
\cdot
\begin dr \\ d\theta \\ dh \end
</math>
Dans l'autre sens :
- <math> r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
- <math>\theta = \arctan \frac + \pi \cdot u_0(-x) \cdot \operatorname y </math>
- <math> h = z </math>
et en dérivant :
- <math>
\begin dr \\ d\theta \\ dh \end
=
\begin
\frac} & \frac} & 0 \\
\frac & \frac & 0 \\
0 & 0 & 1
\end
\cdot
\begin dx \\ dy \\ dz \end
</math>
[] Relations entre coordonnées sphériques et cylindriques
[] Passage des coordonnées cylindriques aux coordonnées sphériques
Le passage des coordonnées cylindriques (r,?cyl,h) aux coordonnées sphériques (?,?sph,?) se fait par :
- <math> \rho = \sqrt</math>
- <math> \phi = \arctan \frac + \pi \cdot u_0(-r) \cdot \operatorname h </math>
- <math> \theta_ = \theta_ </math>
soit en dérivant :
- <math>
\begin d\rho \\ d\phi \\ d\theta \end
=
\begin
\frac} & 0 & \frac} \\
\frac & 0 &\frac \\
0 & 1 & 0
\end
\cdot
\begin dr \\ d\theta \\ dh \end
</math>
(on a ? = ?cyl = ?sph)
[] Passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cylindriques
Le passage des coordonnées sphériques (?,?sph,?) aux coordonnées cylindriques (r,?cyl,h) se fait par :
- <math> r = \rho \cdot \sin\phi </math>
- <math> \theta_ = \theta_ </math>
- <math> h = \rho \cdot \cos\phi </math>
soit en dérivant :
- <math>
\begin dr \\ d\theta \\ dh \end
=
\begin
\sin\phi & \rho \cdot \cos\phi & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\cos\phi & -\rho \cdot \sin \phi & 0
\end
\cdot
\begin d\rho \\ d\phi \\ d\theta \end
</math>
(même remarque que ci-dessus).
[] Voir aussi
Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/coordonnées polaires
