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En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :
- <math>A = \sqrt</math>
et
- <math>s = \frac 12 (a+b+c) \,</math>
s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.
[] Démonstration
La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant
- <math>\cos\gamma = \frac</math>
puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :
| <math>A \,</math>
| <math>= \frac 12 ab\sin\gamma\,</math>
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| <math>=\frac 12ab\sqrt\,</math>
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| <math>=\frac 12 ab\sqrt\,</math>
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| <math>=\frac12ab\sqrt\right)\left(1+\frac\right)}</math>
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| <math>=\frac14\sqrt</math>
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| <math>=\frac14\sqrt\,</math>
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On obtient la formule de Héron en substituant
- <math>a = 2s-b-c\,</math>
dans la formule ci-dessus.
[] Mise en ?uvre numérique
La formule de Héron présente une instabilité numérique qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres.
Une formule permettant de pallier cette instabilité est
- <math>A = \frac14 \sqrt</math>,
où les noms des côtés sont choisis de sorte à ce que
- <math>a > b > c\,</math>.
[] Généralisation
[] En géométrie sphérique
En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.
[] Pour les quadrilatères
Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta.
[] Pour les tétraèdres
Le volume d'un tétraèdre est donné en fonction de la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger.
[] Voir également
[] Liens externes
Les liens suivants sont en anglais :
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/formule de Héron
