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Fractales)
Fractale est un mot inventé par Benoît Mandelbrot en 1974 sur la racine latine fractus qui signifie brisé. Fractal était au départ un adjectif : les objets fractals. On nomme fractale (nom féminin) une courbe ou surface de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques.
[] Caractéristiques
Un objet fractal possède au moins l'une des caractéristiques suivantes :
- il a des détails similaires à des échelles arbitrairement petites ou grandes,
- il est trop irrégulier pour être décrit efficacement en termes géométriques traditionnels,
- il est exactement ou statistiquement autosimilaire c'est-à-dire que le tout est semblable à une de ses parties. C'est une métonymie d'une partie pour le tout.
- sa dimension de Hausdorff est plus grande que sa dimension topologique. Pour exprimer la chose clairement, un réseau d'irrigation est un déploiement de lignes (1D) qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (2D). La surface du poumon (2D) y est repliée en une sorte de volume (3D). Bref, les fractales se caractérisent bien par une sorte de dimension non-entière.
[] Domaines de validité
Les objets fractals n'ont pas à satisfaire toutes les propriétés ci-dessus pour servir de modèles. Il leur suffit de réaliser des approximations convenables de ce qui intéresse dans un domaine de validité donné (le livre fondateur de Mandelbrot Les objets fractals en donne une grande variété d'exemples). Il est à noter que la taille des alvéoles du poumon, par exemple, taille à partir de laquelle celui-ci cesse de se subdiviser de façon fractale, est liée à la taille du libre parcours moyen de la molécule d'oxygène à température du corps.
La dimension utilisée est celle de Hausdorff, et on observe qu'elle correspond à une caractéristique nouvelle des surfaces irrégulières. On connait les plages de validité des dimensions de Hausdorff observées sur Terre pour les montagnes, les nuages, etc.
Des exemples de fractales sont les ensembles de Mandelbrot, la fractale de Lyapunov, l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski et le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano et le flocon de Koch. Les fractales peuvent être des fractales déterministes ou stochastiques. Elles apparaissent souvent dans l'étude des systèmes chaotiques.
Les fractales peuvent être réparties en trois grandes catégories :
- Les systèmes itérés de fonctions. Ceux-ci ont une règle de remplacement géométrique fixe (l'ensemble de Cantor, le tapis de Sierpinski, le triangle de Sierpinski, la courbe de Peano, le flocon de Koch).
- Les fractales définies par une relation de récurrence en chaque point dans un espace (tel que le plan complexe). Des exemples de ce type sont les ensembles de Mandelbrot et le fractal de Lyapunov.
- Les fractales aléatoires, générées par des processus stochastiques et non déterministes, par exemples les paysages fractals.
De toutes ces fractales, seules celles construites par des systèmes itérés de fonctions affichent habituellement la propriété d'« autosimilitude » propriété signifiant que leur complexité est invariante par changement d'échelle.
Les fractales aléatoires sont les plus utilisées dans la pratique, et peuvent servir à décrire de nombreux objets extrêmement irréguliers du monde réel. Les exemples incluent des nuages, les montagnes, turbulence, les lignes des côtes et les arbres.
Les techniques fractales ont aussi été utilisées dans la compression d'image fractale, de même que dans beaucoup de disciplines scientifiques.
[] Dimension fractale
La dimension d'une ligne droite, d'un cercle et d'une courbe régulière est de 1. Une fois fixé une origine et un sens, chaque point de la courbe peut être déterminé par un nombre, qui défini la distance entre l'origine et le point. Le nombre est pris négativement s'il faut se déplacer dans le sens opposé à celui choisi au départ.
La dimension d'une figure simple dans le plan est de 2. Une fois un repère défini, chaque point de la figure peut être déterminé par deux nombres.
La dimension d'un corps simple dans l'espace est de 3.
Une figure telle qu'un fractal n'est pas simple. Sa dimension n'est plus aussi facile à définir et n'est plus forcément entière.
Pour une description détaillée de la définition de la dimension fractale, référez-vous à la dimension de Hausdorff.
Quand le fractale est formé de réplications de lui-même en plus petit, sa dimension fractale peut se calculer comme suit :
dimension = log( nbr ) / log( homothétie) où
le fractale de départ est formé de nbr exemplaires dont la taille a été réduite d'un facteur homothétie.
Par exemple, la dimension du flocon de Koch est de log(4) / log(3) = 1,2618595...
Un côté du flocon de Koch est formé de 4 (= nbr) exemplaires de lui-même réduit d'un facteur 3 (= homothétie).
La dimension du triangle de Sierpinski est de log(3) / log(2) = 1,5849625...
Le triangle de Sierpinski est formé de 3 (= nbr) exemplaires de lui-même réduit d'un facteur 2 (= homothétie).
La dimension du tapis de Sierpinski est de log(8) / log(3) = 1,892789...
Le tapis de Sierpinski est formé de 8 (= nbr) exemplaires de lui-même réduit d'un facteur 3 (= homothétie).
[] Galerie
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Fractale de Julia en 0.3+0.5i |
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Suite qui tend vers le flockon de Koch |
Le triangle de Sierpinski |
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[] Voir aussi
[] Bibliographie
- 1Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd; ISBN 0471922870 (mars 1990)
- Benoit Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co; ISBN 0716711869 (septembre 1982).
- Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (éditeur), Springer Verlag, ISBN 0387966080 (août 1988)
- Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0120790610
- Bernard Sapoval, « Universalités et fractales », collection Champs, Flammarion.
[] Liens internes
La catégorie chaos et fractales de l'annuaire dmoz.
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