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Intuitivement, la longueur d?une courbe est la longueur de ficelle qu'il faudrait dérouler pour la parcourir complètement. Cette longueur peut être obtenue si on connaît le temps de parcours et la vitesse.
Les courbes dont on mesure la longueur le plus facilement sont les lignes polygonales.
Les Anciens approchaient les longueurs de courbes telles que le cercle, en considérant des lignes polygonales joignant des points de la courbe.
Cette approche intuitive de la notion de longueur peut servir de fondement à une définition générale permettant de dépasser la vision intuitive de la longueur.
Lorsque la courbe est définie par une paramétrisation suffisamment régulière, on obtient une formule explicite pour la longueur, issue du calcul différentiel. On peut alors utiliser la notion d'abscisse curviligne qui est une sorte de longueur algébrique, tenant compte de l'orientation, et qui permet de reparamétrer la courbe de façon à s'affranchir des considérations sur la vitesse de parcours.
[] Courbe rectifiable et longueur
[] Approche par la notion de vitesse
On se place pour ce calcul dans le plan euclidien, rapporté à un repère orthonormal.
On envisage un arc paramétré de classe <math>\mathcal C^1</math> donné par une fonction <math>\overrightarrow(t)=(x(t),y(t))</math> pour t variant dans un segment
[a,b]. On va obtenir une formule pour la longueur en manipulant librement les notations différentielles, ce qui pourrait être rendu parfaitement rigoureux.
On peut parler du vecteur déplacement infinitésimal
- <math>\overrightarrow
= \overrightarrow(t+dt)-\overrightarrow(t)=\overrightarrow}dt~</math>
Notons sa norme ds : c'est la longueur infinitésimale parcourue pendant l'intervalle de temps dt. Alors la longueur de l'arc est obtenue en sommant ces longueurs élémentaires
- <math>L=\int ds = \int_a^b \frac dt = \int_a^b \left\|\frac}\right\| dt
= \int_a^b \sqrt dt~</math>
On pourra résumer cette formule en exprimant la valeur de la longueur infinitésimale sous la forme
- <math>ds^2=dx^2+dy^2</math>
D'autres formules peuvent s'établir de la même façon (pour des courbes de l'espace euclidien à 2, 3 dimensions), avec, suivant le système de coordonnées choisi
- <math>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2</math> coordonnées cartésiennes dans l'espace
- <math>ds^2=dr^2+r^2d\theta^2</math> coordonnées polaires dans le plan
- <math>ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+dz^2</math> coordonnées cylindriques dans l'espace
- <math>ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi</math> coordonnées sphériques dans l'espace
- <math>ds^2=dx_1^2+...+dx_n^2</math> coordonnées cartésiennes dans l'espace euclidien à n dimensions
[] Notion générale de courbe rectifiable
Une courbe est rectifiable si les lignes polygonales inscrites sur celle-ci sont de longueur uniformément bornée.
Si <math>t \mapsto f(t)</math> décrit la courbe (t dans [a,b]), alors une ligne polygonale <math>P</math> inscrite est donnée par ses sommets <math>M_i=f(t_i)</math>, pour n'importe quel choix <math>t_0=a<t_1<t_2<...<t_n=b</math> (la courbe peut-être fermée ou non). La longueur de cette ligne est <math>L(P)=\sum_i M_i M_</math>. La courbe est dite rectifiable si la longueur <math>L(P)</math> est majorée par une constante <math>C</math> indépendante du choix des <math>t_i</math>. La longueur de la courbe est alors le <math>sup L(P)</math> pris sur tous les polygones possibles.
Remarques :
- cette définition a un sens dès lors que l'espace est muni d'une norme
- la courbe donnée par la graphe de <math>x \mapsto x cos (1/x^2) </math> n'est pas rectifiable.
- la longueur de l'arc est supérieure à celle de la ligne droite joignant origine et extrémité de l'arc (c'est une ligne polygonale particulière) : c'est bien la ligne droite qui forme le plus court chemin d'un point à un autre.
- un arc de classe <math>\mathcal C^1</math> (<math>f</math> continûment dérivable), ou même lipschitzienne est rectifiable ; si elle est de classe <math>\mathcal C^1</math>, on retrouve la formule
- <math>L(f)=\int_a^b \| df/dt \| dt </math>
C'est ce qui va être prouvé dans les sections suivantes
[] Longueur d?un arc de courbe continûment différentiable, en représentation explicite
Considérons une courbe du plan ?2, et supposons que la courbe soit le graphe d?une fonction continûment différentiable du segment [a, b] dans ?. La courbe est dite continûment différentiable (de classe <math>\mathcal C^1</math>).
Soit ?=(a0, ?, an) une subdivision de [a, b]. Nous pouvons lui associer la ligne polygonale de sommets : (ak, f(ak)) (k = 0,?,n). Sa longueur est la somme :
- <math>\sum_^n\sqrt)^2+(f(a_i)-f(a_))^2}</math>
D?après le théorème des accroissements finis, pour tout i de {1, 2, ..., n}, il existe ?i dans l?intervalle ai-1, ai[ tel que
- f(ai)-f(ai-1)=f'(?i )(ai-ai-1)
La longueur de la ligne polygonale s?écrit :
- <math>\sum_^(a_i-a_)\sqrt(\xi_i)^2}</math>
Nous reconnaissons une somme de Riemann de la fonction <math>x\mapsto \sqrt(x)^2}</math>.
L?intégrale <math>\int_a^b \sqrt(x)^2}dx</math> représente la longueur de la courbe.
[] Longueur d?un arc de courbe continûment différentiable en représentation paramétrique
Considérons une courbe paramétrée de ?3 définie par :
- <math>t\mapsto M(t)=\beginx(t)\\y(t)\\z(t)\\\end</math>
où x, y, z sont des fonctions continûment différentiables sur un segment [a, b].
Notons ||.|| la norme euclidienne de ?3. Considérons ?=(t0, ?, tn) une subdivision de [a, b].
La somme
- <math>\sum_^n ||M(t_i)-M(t_)||=\sum_^n \sqrt))^2+(y(t_i)-y(t_))^2+(z(t_i)-z(t_))^2}</math>
représente la longueur de la ligne polygonale dont les sommets sont les points M(ti).
D?après le théorème des accroissements finis, pour tout i dans {1, ?, n}, il existe ?i, ?i et ?i dans ]ti-1, ti[ tels que :
- x(ti)- x(ti-1)= (ti-ti-1) x?(?i)
- y(ti)- y(ti-1)= (ti-ti-1) y?(? i)
- z(ti)- z(ti-1)= (ti-ti-1) z?(? i)
La somme est égale à :
- <math>\sum_^n (t_i-t_)\sqrt(\alpha_i))^2+(y^(\beta_i))^2+(z^(\gamma_i))^2}</math>
En utilisant l?uniforme continuité sur [a, b]3, de l?application <math>(r, s, t)\mapsto \sqrt(r)+ y^(s)+ z^(t)}</math>, nous démontrons que la différence entre la somme précédente et la somme suivante :
- <math>\sum_^n (t_i-t_)\sqrt(t_i))^2+(y^(t_i))^2+(z^(t_i))^2}</math>
tend vers 0 lorsque le pas des subdivisions tend vers 0.
Cette dernière somme est une somme de Riemann de la fonction:
- <math>t\mapsto \sqrt(t))^2+(y^(t))^2+(z^(t))^2}</math>.
L?intégrale <math>\int_a^b \sqrt(t))^2+(y^(t))^2+(z^(t))^2}\,dt</math> représente la longueur de la courbe.
[] Abscisse curviligne
On procède à une introduction plus soigneuse de l'abscisse curviligne qui est la quantité s déjà rencontrée dans les formules telles que <math>ds^2=dx^2+dy^2+dz^2</math>.
L'arc paramétré f est supposé de classe <math>\mathcal C^1</math> et régulier (vecteur dérivé est non nul en chaque point), à valeurs dans un espace euclidien. On se donne un point de référence <math>t_0</math> et on appelle abscisse curviligne d'origine <math>t_0</math>
- <math>s (t)=\int_^t \left\|\frac}\right\| dt</math>
Cette quantité existe bien comme primitive d'une fonction continue. Elle correspond à la longueur de la courbe entre <math>t_0</math> et t, avec un signe qui indique si on est avant ou après le point origine.
[] Effet d'un changement de paramètre
Quand on change de paramètre en respectant l'orientation, les notions d'abscisse curviligne et de longueur sont inchangées. On peut le voir en utilisant la formule de changement de variable dans l'intégrale qui définit s.
[] Paramétrisation normale
On peut notamment choisir comme paramètre l'abscisse curviligne elle-même.
Dans cette nouvelle paramétrisation, appelée paramétrisation normale, le vecteur dérivé est de norme 1 en chaque point. On parcourt donc l'arc à vitesse uniforme.
[] Voir aussi
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/longueur d\\\'un arc
