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Le terme «mathématique» vient du grec ?????? (mathêma), science, connaissance, apprentissage (mathematikos : qui aime apprendre). «Les mathématiques» sont communément considérées comme la science des nombres , des figures et des structures.
Un résultat mathématique, appelé théorème, est considéré comme tel lorsque le discours qui est censé convaincre de sa vérité suit une certaine structure appelée démonstration, ou raisonnement déductif. Cette démonstration suit les lois de la logique.
Les mathématiques sont traditionnellement vues comme un modèle de connaissance humaine, dont les résultats sont considérés comme objectifs, universels et éternels. Son statut de «reine des sciences» provient des faits suivants :
- son indépendance du réel due à sa nature purement intellectuelle
- les postulats, appelés axiomes, ne sont pas soumis à l'expérience
- la logique est assez bien admise comme mode de communication universel
- son efficacité dans les autres sciences, en particulier en physique.
On distingue actuellement trois grands thèmes interconnectés en mathématiques :
- l'algèbre (exemples : théorie des nombres, mathématiques discrètes)
- la géométrie (exemples : géométrie riemanienne, topologie)
- l'analyse (exemples : équations différentielles, probabilités)
[] Les différentes branches des mathématiques
L'étude des mathématiques commence avec les nombres, tout d'abord avec les nombres naturels et les nombres entiers. Les règles gouvernant les opérations usuelles sur les nombres (addition, multiplication, soustraction, division) font partie de l'arithmétique élémentaire. L'algèbre élémentaire est fondée sur l'abstraction de ces règles. L'étude des surfaces simples (polygones, cercles,...) forme la géométrie élémentaire...
[] L'algèbre
[] L'analyse
[] La géométrie
[] Les mathématiques et les autres sciences
[] Outil et langage
Les mathématiques servent de langage ou de support à de très nombreuses sciences, naturelles ou humaine, afin de quantifier certains phénomènes. Mais la quantification n'est pas le seul usage des mathématiques : elle est également utilisée pour prédire des formes et des prédictions qualitatives.
Rapport avec les sciences dites "naturelles" :
[] Le cas particulier de la physique
Historiquement, physique et mathématiques sont profondément liés. L'astronomie a par exemple été un des moteurs principal de l'émergence de la discipline mathématique.
Par la suite, et jusqu'à la fin du XIXème siècle, les mathématiciens sont tout autant physiciens (et très souvent philosophes). On peut distinguer plusieurs rapports de natures différentes entre les deux sciences :
- une nouvelle théorie physique réclame un outil mathématique. Deux cas :
- la théorie existe déjà (relativité générale et géométrie riemanienne)
- la théorie doit être inventée (gravitation universelle et calcul différentiel)
- une nouvelle théorie mathématique encourage les physiciens à explorer plus loin leur théorie (polynômes de Donaldson et théorie de Seiberg et Witten).
- une nouvelle théorie physique ouvre des perspectives mathématiques, parce que les mathématiques utilisées par les physiciens ne sont pas encore "démontrés" (typiquement les intégrales de Feynmann) (théorie de Yang-Mills et polynômes de Donaldson).
On ne peut donc pas dire qu'il existe une préséance épistémologique d'une discipline sur l'autre. Explicitons quelques exemples montrant qu'une telle réduction est irréalisable :
- Le calcul différentiel a été indépendamment inventé par Leibniz et Newton. Chez le premier, l'état d'esprit qui a accompagné et présidé est essentiellement philosophique, et lié à sa réflexion sur les monades. Chez le second, c'est la mathématisation de ses réflexions sur la gravitation qui a été le moteur principal.
- Joseph Fourier invente les séries qui portent son nom, maintenant fondamentales dans presque toutes les mathématiques, parce qu'il s'intéressait à la diffusion de la chaleur dans les corps.
- Quand Albert Einstein réfléchit à la relativité générale, il prend conscience que les mathématiques nécessaires étaient déjà présentes dans la géométrie riemanienne.
- Actuellement, les physiciens de la théorie des cordes bouleversent la géométrie complexe, en conjecturant de très nombreux résultats, jamais contredits par les mathématiciens, qu'ils obtiennent à l'aide d'outils mathématiques dont la validité est encore très loin d'être démontrée.
- Quand Heisenberg fonde la mécanique quantique, il réinvente la théorie des matrices, déjà bien développée en mathématiques.
[] Le cas des sciences humaines
Son rapport avec les sciences humaines se fait essentiellement par les statistiques et les probabilités :
Ce rapport est extrêmemenent controversé, de part la nature humaine de ces sciences, et du refus par certains dans ce domaine du déterminisme auquel les mathématiques sont naturellement attachées.
[] L'habit mathématique ne fait pas la science
Mathématisation n'est pas synonyme d'authenticité scientifique. En effet, les postulats d'une "pensée" peuvent être extrêmement problématiques, voire farfelus, mais s'ils sont de nature à être quantifiés, ils peuvent donner lieu à des calculs complexes.
Le cas de l'astrologie est un cas modèle : ses postulats, qui considèrent que les planètes ont une influence sur le comportement humain, ne sont quasiment pas acceptés par la communauté scientifiques. Pourtant, la pratique de l'astrologie peut donner lieu à de longs calculs.
Beaucoup plus subtil est le cas de l'économie mathématique dont les postulats se prêtent à la mathématisation, et qui de fait utilise des concepts mathématiques très évolués. Certains sociologues, comme P. Bourdieu, refusent le principe même de l'homo economicus, à la base de toute l'économie mathématique.
A. Sokal et J. Briquemont ont dénoncé l'utilisation d'une terminologie scientifique, en particulier mathématique et physique, dans le domaine des sciences humaines.
[] Les mathématiques dans l'Histoire
L?origine historique des mathématiques est liée à leurs applications concrètes, le commerce, la mesure des surfaces, la prédiction des évènements astronomiques.
Initialement tournées vers la mesure (géométrie) et le comptage (arithmétique), les mathématiques se tournent rapidement vers l'abstraction. Les mathématiciens grecs avec Euclide et ses éléments leur apportent leurs premières structures axiomatiques, puis leur passage chez les mathématiciens de langue arabe permet la fusion avec les connaissances orientales et la création du système d'écriture numérique arabe.
Dans le courant du XVIe et XVIIe siècle, c'est en Europe que se développe un nouvel aspect des mathématiques. La création d'un langage symbolique (François Viète et Descartes) permet le développement du calcul algébrique. Tandis que Newton et Leibniz, mettant en place le calcul infinitésimal, donnent les outils nécessaires aux développement de l'analyse.
Cependant, les mathématiques, pour se développer ont besoin de définir des structures : groupe (Évariste Galois), anneau (Richard Dedekind), corps , espace vectoriel, espace projectif ..... C'est le développement d'une nouvelle branche des mathématiques : celle des structures algébriques ou algèbre abstraite qui débouchera quelques siècles plus tard sur la théorie des catégories.
Le XIXe siècle voit avec Hilbert et Cantor le développement d'une théorie axiomatique sur tous les objets étudiés, soit la recherche des fondements mathématiques. Ce développement de l'axiomatique conduira le XXe siècle à chercher à définir toutes les mathématiques à l'aide d'un langage : la logique.
Au cours du XXe siècle, le développement de l'outil informatique fait prendre un nouveau tournant aux mathématiques : celui de la modélisation et de la numérisation.
Au cours des deux mille ans écoulés, les mathématiques ont cherché, d'une part à fournir des outils exploitables pour les autres sciences (physique, géographie; astronomie...) d'autre part à résoudre des problèmes nés dans leur sein comme la quadrature du cercle, les nombres constructibles, la conjecture de Fermat, les propositions indécidables, les problèmes NP-complets...
[] Fondements, rigueur et logique
[] Rigueur et démonstration
[] Les fondements des mathématiques
Les théories des ensembles sont des théories très générales qui permettent de formuler et de prouver toutes les connaissances mathématiques.
[] Logique et mathématiques
La logique énonce les règles, ou principes, qu?il faut respecter pour faire des déductions correctes.
Comme toute science exacte, la mathématique est donc fondée sur le principe du tiers exclu (ou axiome de véracité) : toute proposition (hors non-sens) est soit vraie soit fausse.
Une déduction consiste à partir de prémisses pour arriver à une conclusion en procédant par des étapes logiques.
En mathématiques, l?étude de la forme du raisonnement, indépendamment de ses objets, a une importance cruciale. Montrons-le sur un exemple.
Les mêmes axiomes, ceux des espaces vectoriels, peuvent être utilisés à la fois pour étudier des espaces géométriques, l?espace euclidien par exemple et pour étudier l?ensemble des solutions d?une équation différentielle linéaire. Les théorèmes sur les espaces vectoriels sont donc valables à la fois pour la géométrie euclidienne et pour les équations différentielles linéaires. On peut considérer que la théorie abstraite des espaces vectoriels consiste à étudier toutes les déductions qui partent des mêmes axiomes, indépendamment des objets auxquels ils sont appliqués. On étudie alors les formes de déduction et non les objets auxquels ces formes sont appliquées.
Cette définition convient bien aux mathématiques appliquées. De nombreuses théories abstraites (les nombres entiers et réels, les fonctions réelles de variable(s) réelle(s) et les équations différentielles, les espaces vectoriels, les groupes, la théorie des probabilités, ...) ont une utilité générale pour toutes les sciences, parce qu?elles peuvent être appliquées à de nombreux objets. Le travail des mathématiques appliquées consiste à développer des théories, dont la valeur est universelle, en vue d?aider les autres sciences dans leurs recherches des conséquences.
[] Philosophies des mathématiques
L'universalité manifeste des mathématiques et leur efficacité sont, au moins depuis l'antiquité grecque, la source de questions philosophiques et métaphysiques. L'Histoire des Idées est intimement liée à la réflexion sur la nature des mathématiques. On peut distinguer trois grandes questions :
- Quelle est le mode d'existence des objets mathématiques ?
- Pourquoi les mathématiques semblent-elles universelles ?
- Pourquoi les mathématiques, création de l'esprit, permettent-elles de comprendre un aspect de l'univers ?
[] Le platonisme
«Nul n'entre ici s'il n'est géomètre»", était gravé sur le portail de l'Ecole de Platon. Pour ce philosophe, les mathématiques sont le modèle du royaume des Idées.
[] L'aristotélisme
Concernant les mathématiques, Aristote est encore très empreint de platonisme. L'univers au-delà de la Lune, les étoiles et les planètes, peuvent être compris par les mathématiques, car ils sont ordonnés suivant des lois éternelles et parfaites. En revanche, pour Aristote le monde sublunaire est sujet au changement et au mouvement, et la physique ne peut en aucun cas prétendre aquérir la rigueur et l'universalité des mathématiques.
[] Le logicisme
Le logicisme considère que les mathématiques sont toutes entières incluses dans l'ensemble des connections logiques élémentaires, théoriquement explicitables, qui composent une démonstration.
[] L'intuitionnisme
«La possibilité même de la science mathématique semble une contradiction insoluble. Si cette science n'est déductive qu'en apparence, d'où lui vient cette parfaite rigueur que personne ne songe à mettre en doute ? Si, au contraire, toutes les propositions qu'elle énonce peuvent se tirer les unes des autres par les règles de la logique formelle, comment la mathématique ne se réduit-elle pas à une immense tautologie ? Le syllogisme ne peut rien nous apprendre d'essentiellement nouveau et, si tout devait sortir du principe d'identité, tout devrait aussi pouvoir s'y ramener. »
Henri Poincaré, La Science et l'hypothèse
[] Les arts et les mathématiques
De natures très différentes, l'art et les mathématiques ont néanmoins toujours eu des relations fructueuses.
[] Harmonie et musique
[] Les symétries
[] L'esthétique des théories
[] Index wikipedien
[] La logique et les théories des ensembles
Logique
Théories des ensembles
[] L?arithmétique et les mathématiques discrètes
Arithmétique
Mathématiques discrètes
[] Les géométries
Trigonométrie
[] L?algèbre
[] L?analyse et la topologie
Analyse
Topologie
[] La théorie des probabilités
[] Mathématiques appliquées
Les domaines des mathématiques appliquées utilisent la connaissance des mathématiques à fin de résolution des problèmes du monde réel.
[] Mathématiques récréatives
[] Mathématiques élémentaires (non universitaires)
Techniques de calcul
[] Histoire des mathématiques
[] Voir aussi
[] Annexes
[] Liens internes
[] Liens externes
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