modèle_mathématique

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Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils,  : s'il utilise le même cadre mathématique, ils se contredisent, mais si le second utilise un autre cadre mathématique, ils peuvent être en fait parfaitement d'accord.

La même remarque s'applique à toutes les modélisations, et notamment aux modélisations économiques et comptables, qui auront des conséquences économiques et fiscales importantes : l'archétype de la
Dans ce cas, les modèles servent à représenter des données historiques. On parle de modèles descriptifs. L'objectif est de rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations. L'archétype de ces modèles est la comptabilité : elle décrit de manière simplifiée les événements économiques réels en leur affectant un compte, c'est-à-dire une « étiquette » sensée les caractériser. Ces comptes sont ensuite agrégés pour présenter de manière standard la situation économique des entreprises et des pays.

Bien entendu, les deux types de modèles sont parfaitement liés : une bonne prédiction suppose au moins la prédiction de la situation passée et actuelle, c'est-à-dire une bonne description. Inversement, une bonne description serait parfaitement vaine si elle ne servait pas au moins de diagnostic, ou de carte, pour identifier la conduite à tenir.

Il est intéressant de noter qu'un même modèle mathématique peut se trouver applicable à de nombreuses situations, n'ayant pas forcément un rapport bien évident. Par exemple, des générateurs de paysages sont capables créer des formes réalistes d'objets aussi différents que des montagnes, des arbres, des rochers, de l'herbe, des coquillage ou des flocons de neige, avec un seul modèle général, alors même que les processus de croissance et de constructions de ses objets sont très divers. Si, au lieu de créer un nouveau modèle, on est capable de rapprocher un problème d'un ancien modèle connu, on obtient immédiatement une masse de données très utile. Une grande partie du travail est donc de reconnaître qu'un modèle connu s'applique, ou à étendre les propriétés connues d'une classe particulièrement utile de modèle (propriété qu'on pourra ensuite utiliser plus largement).

[] Les qualités d'un modèle

En préliminaire, il est important de comprendre que la complexité mathématique n'est pas un critère suffisant pour juger si un modèle est pertinent ou non : il existe des classes de modèles qui font appel à des outils mathématiques complexes, tels la recherche opérationnelle ou la théorie des jeux ; d'autres classes, la comptabilité par exemple, sont d'un abord mathématique enfantin (additions, soustractions). Mais, à résultat comparable, c'est bien sur le modèle le plus simple qui est préférable.

Un modèle est pertinent

• s'il couvre bien le champ du problème réel

Ex. un modèle financier qui n'intégrerait pas le phénomène du troc ne serait pas utilisable pour évaluer les entreprises de l'ex-Europe de l'Est.

• s'il permet d'obtenir le résultat escompté : description du phénomène avec le niveau de détail ou de synthèse souhaité, ou prévisions se révélant justes a posteriori.
• dans le délai souhaité

On pense à la boutade qui promet des prévisions météo précises à une semaine mais qui demandent un mois de calcul.

• accessoirement, s'il est réutilisable

L'investissement pour décrire un modèle est en général si important qu'il se justifie rarement sur une opération unique.

[] Comment créer un modèle ?

Il n'est pas question dans un article si court de présenter une méthodologie applicable à toutes les situations (s'il en existe une !), mais quelques points essentiels.

1. Le point de départ est toujours une question qu'on se pose sur une situation future et/ou si complexe qu'on n'y trouve pas la réponse de manière évidente.

Ex. : mon entreprise est-elle viable ? Ce matériel vaut-il le prix demandé ? Ce médicament est-il efficace ? Que faut-il faire pour que la situation s'améliore ?

2. Pour trouver la réponse, il est nécessaire de limiter le champ du problème en recherchant les données qu'on imagine avoir un lien direct avec la question. Trop limiter fait courir le risque de ne pas modéliser un phénomène qui a du poids dans le contexte, mais trop ouvrir entraîne une dispersion des moyens et une accumulation de données non pertinentes qu'il faudra écarter en justifiant les choix. Cette étape est la plus délicate pour la qualité du modèle : elle est soumise aux a priori du modélisateur, à ses manques de connaissances ? parfois de méthode ? et aux moyens dont il dispose (temps, argent, accès aux données). Au cours de cette étape, on choisit le type de modèle général qu'on va utiliser, notamment en fonction des données dont on pense disposer.

3. Il faut ensuite construire le modèle :

• • filtrer les données afin d'en extraire les « bruits », ces irrégularités ou ces événements accessoires qui masquent l'essentiel ;
  • éventuellement, reconstituer les manquants, c'est-à-dire les objets qui manquent pour assurer la cohérence de l'ensemble (ex. le fonctionnement d'un paramètre dont on connaît l'existence mais sur lequel on ne dispose pas de données)

C'est là qu'interviennent les outils mathématiques et informatiques, qui permettent un filtrage et une construction avec un minimum de subjectivité en un minimum de temps.

4. Le « substrat » restant constitue le modèle, ensemble de règles ou d'équations. Il faut décrire ces règles le plus complètement possible : leur importance relative, les données en entrée et en sortie, les outils mathématiques utilisés, les étapes par lesquelles il faut passer, les points de contrôle.

5. La dernière étape consiste à valider le modèle : en appliquant aux données filtrées les règles du modèle, retrouve-t-on la situation initiale ? Si l'écart est trop important, il est nécessaire de se reposer la question des limites que l'on a fixées, ou de la pertinence des outils utilisés pour la modélisation.

[] Les outils mathématiques les plus courants

Il s'agit essentiellement d'outils statistiques et de probabilités. Plus précisément,

• Pour les modèles prédictifs :
  • la projection, qui consiste à prédire la valeur d'une grandeur numérique continue à partir des valeurs passées, par exemple en utilisant les méthodes de régression (linéaire ou non) ;

• Pour tous les modèles :
  • la classification, ou catégorisation, qui permet de situer une observation (événement ou individu) dans un nombre réduit de classes prédéfinies.
  • la représentation graphique, qui donne une image visuelle ;
  • l'utilisation des variables centrées, où une variable est sensée représenter toutes les autres (ex. la moyenne) ;
  • la corrélation, qui permet d'associer plusieurs variables quand elles ont un comportement commun ;
  • la clusterisation, qui consiste à présenter les observations par paquets les plus homogènes possibles (les clusters) ;
  • la réduction de dimensionalité, qui consiste à créer, à partir d'un ensemble d'observations, un ensemble réduit d'observations (c'est-à-dire moins nombreuses) qui est réputé se comporter comme la population initiale.

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