Encyclopedie - polyÃ¨dre

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[] Définition

Un polyèdre est un solide délimité par des faces polygonales. Chaque côté de chaque polygone constituant une face coïncide avec un côté d'une autre face et chaque sommet est relié à un autre par une suite d'arêtes dont deux arêtes consécutives sont reliées par un sommet.

[] Convexité, concavité

Un polyèdre est convexe si toutes ses diagonales sont entièrement contenues dans son intérieur. Il est possible de donner une définition barycentrique d'un tel polyèdre : Soit <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>\cdots</math>, <math>A_n</math>, <math>n</math> points non coplanaires ; le polyèdre convexe <math>A_1A_2A_n</math> est l'ensemble des points M barycentres de : <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>\cdots</math>, <math>A_n</math> affectés de coefficients <math>\alpha_1</math>, <math>\alpha_2</math>, <math>\cdots</math>, <math>\alpha_n</math> où chaque <math>\alpha_i</math> est positif.

[] Plus petit polyèdre

Un polyèdre possède au moins : 4 faces, 4 sommets et 6 arêtes. Le plus petit polyèdre est le tétraèdre.

[] Régularité des sommets

Partons d'un sommet et prenons les points situés à une distance donnée sur chacune des arêtes. Relions ces points, nous obtenons le 'polygone du sommet' (vertex figure...). Si celui-ci est régulier on dit que le sommet est régulier.

[] Polyèdres réguliers

Un polyèdre est régulier s'il est constitué de faces toutes identiques et régulières, et que tous ses sommets sont identiques. Ils sont au nombre de neuf, classiquement répartis en deux familles :

les cinq solides de Platon : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre réguliers. Platon considérait ces solides comme l'image de la perfection. Les mathématiques modernes rattachent ces exemples à la notion de groupe.
les quatre polyèdres de Kepler-Poinsot, qui ne sont pas convexes.

Voir l'article détaillé Polyèdre régulier

[] Polyèdres semi-réguliers

Un polyèdre est semi-régulier si ses faces sont constituées de plusieurs sortes de polygones réguliers, et que tous ses sommets sont identiques. Ainsi sont par exemple les solides archimédéens, les prismes et les antiprismes réguliers. La terminologie ne paraît pas tout à fait arrêtée. On parle parfois de solides semi-réguliers de la première espèce pour désigner ceux de ces solides qui sont convexes, et de solides uniformes pour le cas général.

[] Solides archimédiens

Ils sont au nombre de 13, dont deux sont chiraux. Ce sont les solides semi-réguliers convexes qui possèdent les mêmes symétries que les solides de Platon.
Image:Solides d Archimede.png
De gauche à droite et de haut en bas :
cube tronqué, octaèdre tronqué, tétraèdre tronqué, icosaèdre tronqué, dodécaèdre tronqué,
cuboctaèdre, snub cube (ou cube adouci, chiral), icosidodécaèdre, snub dodécaèdre (ou dodécaèdre adouci, chiral),
petit rhombicuboctaèdre, grand rhombicuboctaèdre, petit rhombicosidodécaèdre, grand rhombicosidodécaèdre.
Le snub cube et le snub dodécaèdre sont énantiomorphes, c'est à dire qu'ils apparaissent sous deux formes : orientés à gauche ou orientés à droite.

[] Prismes et antiprismes semi-réguliers

Ce sont les solides dont les bases sont des polygones réguliers et dont les autres faces sont des carrés. On peut également construire des antiprismes, dont les faces autres que les bases sont des triangles équilatéraux. Les bases peuvent être des polygones étoilés, formant ainsi des prismes et des antiprismes concaves.
Image:Prismes antiprismes.png

[] Solides uniformes

On appelle solide uniforme un solide dont toutes les faces sont régulières et tous les sommets identiques. Ainsi sont donc tous les solides réguliers et semi-réguliers précédents. Ils sont en tout 75, auxquels il faut ajouter les deux familles infinies des prismes et des antiprismes. (La terminologie semble être la suivante : les solides semi-réguliers sont convexes, et ne sont donc qu'une partie des solides uniformes.)

[] Autres solides

[] Polyèdres de Catalan

Ce sont les duaux des solides d'Archimède. Leurs faces sont toutes identiques et leurs sommets tous réguliers.
Image:Solides de Catalan.png

[] Diamants et antidiamants

Ce sont les duaux des prismes et des antiprismes semi-réguliers. Les premiers ont des faces triangulaires et les seconds des faces quadrilatères (tétragonales). On parle parfois de bipyramides pour les diamants.
Image:Diamants antidiamants.png

[] Polyèdres semi-réguliers de la seconde espèce

Ainsi nomme-t'on parfois les polyèdres de Catalan ansi que les diamants et les anti-diamants précédents, car tous leurs sommets sont réguliers et toutes leurs faces identiques.
Ils peuvent faire office de dés à jouer.
Ce sont les duaux des solides semi-réguliers de la première espèce.

[] Polyèdres de Johnson

Toutes leur faces sont régulières mais leurs sommets sont de différentes sortes. Ils sont 92, et désignés par <math>J_</math>, où <math>xx</math> est le numéro que leur a donné Johnson.

[] Deltaèdres

Ce sont les solides convexes constitués uniquement de triangles équilatéraux. On les note <math>D_</math>, <math>f</math> étant le nombre de faces. En théorie il y en a neuf, mais <math>D_</math> ne peut être construit. Ils sont donc huit : le tétraèdre <math>D_4</math>, le diamant triangulaire <math>D_</math> (<math>J_</math>), l'octaèdre <math>D_8</math>, le diamant pentagonal <math>D_</math> (<math>J_</math>), le snub disphénoïde <math>D_</math> (<math>J_</math>), le prisme triangulaire triaugmenté <math>D_</math> (<math>J_</math>), le diamant carré gyroallongé <math>D_</math> (<math>J_</math>), et l'icosaèdre <math>D_</math>.
Image:Deltaedres.png

[] Hexaèdres

Ils ont six faces. L'exemple le plus connu est le cube.

[] Polyèdres rhombiques

Toutes leurs faces sont des losanges. Hors deux polyèdres de Catalan déjà connus (le dodécaèdre rhombique et le triacontaèdre rhombique), on peut citer la famille des rhomboèdres, qui sont les hexaèdres dont les faces sont des losanges.

[] Solides composés

Ils sont décomposables en plusieurs solides, comme par exemple la stella octangula, formée de deux tétraèdres imbriqués, ou encore le prisme ayant pour base l'étoile de David (qui n'est pas vraiment un polygone étoilé), composé de deux prismes à base triangulaire.

[] Nolides

Les nolides ne sont pas des solides, dans le sens que leur faces ne renferme aucun volume. Il y a par exemple deux manières de réunir trois carrés pour former quelque chose qui ressemble à un octaèdre, ou quelque chose qui ressemble à un cube.

[] Opérations de transformation sur les solides

[] Dualité

Voir l'article détaillé Dual d'un polyèdre

[] Troncatures

C'est l'opération qui consiste à raboter un sommet ou une arête. Elle conserve les symétries du solide.

[] Troncature des sommets

Cette opération permet d'obtenir sept des solides d'Archimède à partir des solides de Platon. On remarque en effet qu'en rabotant de plus en plus les arêtes d'un cube on obtient successivement le cube tronqué, le cuboctaèdre, l'octaèdre tronqué et enfin l'octaèdre. On peut aussi suivre cette série dans l'autre sens.
En partant du dodécaèdre on obtient le dodécaèdre tronqué, l'icosidodécaèdre, l'icosaèdre tronqué, puis l'octaèdre.
Le tétraèdre donne le tétraèdre tronqué.
On peut appliquer cette opération au grand dodécaèdre ou au grand icosaèdre et obtenir des solides uniformes concaves.

[] Troncature des arêtes

À partir d'un cube, cette opération donne successivement un cuboctaèdre, puis un dodécaèdre rhombique.
À partir d'un dodécaèdre, on obtient l'icosidodécaèdre puis le triacontaèdre rhombique.

[] Stellations

A faire.

[] Facettage

Le facettage permet d'obtenir, entre autres, de nombreux nouveaux solides semi-réguliers concaves. On construit de nouvelles faces régulières en regroupant les arêtes d'un polyèdre semi-régulier. Le plus simple est un héptaèdre construit à partir de l'octaèdre, constitué de trois faces carrées et de quatre faces triangulaires.

[] Relation d'Euler

Soit un polyèdre convexe, on note :

<math> f </math> le nombre de faces de celui-ci,
<math> a </math> le nombre d'arêtes de celui-ci,
<math> s </math> le nombre de sommets de celui-ci,

On peut démontrer qu'on a toujours la relation d'Euler : <math> f - a + s = 2 \,</math>

Par exemple :

pour le cube : <math> f = 6 </math>, <math> s = 8 </math>, <math> a = 12 </math>, d'où <math> f - a + s = 6 - 12 + 8 = 2 </math>.
pour le tétraèdre : <math> f = 4 </math>, <math> s = 4 </math>, <math> a = 6 </math>, d'où <math> f - a + s = 4 - 6 + 4 = 2 </math>.
pour le prisme à base pentagonale : <math> f = 7 </math>, <math> s = 10 </math>, <math> a = 15 </math>, d'où <math> f - a + s = 7 - 15 + 10 = 2 </math>.
pour le dodécaèdre : <math> f = 12 </math>, <math> s = 20 </math>, <math> a = 30 </math>, d'où <math> f - a + s = 12 - 30 + 20 = 2 </math>.
Il est impossible de recouvrir une sphère seulement par des hexagones, même non réguliers, afin de former une géode, car un tel recouvrement ne respecterait pas la relation d'Euler. En effet, dans un polyèdre à faces uniquement hexagonales, chaque sommet est commun à 3 faces et chaque arête à 2 faces. Comme tout hexagone a 6 côtés et 6 sommets, un tel polyèdre doit donc comporter 6 / 3 sommets par face et 6 / 2 arêtes par face. Donc, si f est le nombre de faces, le nombres d'arêtes a doit être égal à 3f et le nombre de sommets s à 2f. On a alors :

et la relation d'Euler n'est pas vérifiée.

Par contre, remplaçons certains hexagones de ce recouvrement impossible par des pentagones. Si le nombre de faces ne varie pas, le nombre d'arêtes et de sommets diminue : pour chaque pentagone ajouté , on a ( 6 - 5 ) / 2 arêtes, c'est-à-dire une demi-arête en moins et (6 - 5) / 3 sommets, c'est-à-dire un tiers de sommet en moins; <math> s-a+f </math> augmente donc à chaque fois de la différence, c'est-à-dire d'un sixième . Pour que la relation d'Euler soit respectée, il faut que <math> s-a+f </math> initialement à 0, devienne égal à 2, donc augmente de 12 / 6. Bref, il faut remplacer 12 hexagones par autant de pentagones. Le nombre des sommets s est alors de 2f - 4 et celui des arêtes a de 3f - 6. Un cas extrême est celui du dodécaèdre ( f = 12 ), où il ne reste plus aucun hexagone. Dans la figure ci-dessous (où f = 344 faces), quatre des douze pentagones sont visibles.

Image:Geodeduale.png

[] Nomenclatures des polyèdres