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Le produit vectoriel est le résultat d'une multiplication vectorielle dans l'espace euclidien orienté de dimension trois. Cette notion a été théorisée dans les années 1880 par Josiah Willard Gibbs à partir des travaux de Hermann Günther Grassmann.
[] Définition
Le produit vectoriel de deux vecteurs <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> se définit comme l'unique vecteur <math>\vec w</math> tel que :
- si <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> sont colinéaires, <math>\vec w=\vec</math>
- dans le cas contraire :
- le vecteur <math>\vec w</math> est orthogonal aux deux vecteurs donnés,
- le repère <math>(\vec,\vec, \vec)</math> est de sens direct,
- <math>||\vec w|| = ||\vec|| \cdot ||\vec|| \cdot \sin(\widehat,\vec})</math>,
[] Notation
Deux notations sont en concurrence pour le produit vectoriel. On utilise spécialement en France le V renversé ( <math> \wedge </math> ) initié par Cesare Burali-Forti, mais qui a le gros défaut d'être en conflit avec la notation du produit extérieur. La notation par une croix ( <math> \times </math> ), due à Josiah Willard Gibbs, a le défaut d'être en conflit avec le produit des réels ou le produit cartésien.
[] Propriétés
La multiplication vectorielle est distributive sur l'addition, compatible avec la multiplication par un scalaire et anticommutative.
Dans une base orthonormale directe <math>\left ( \vec i, \vec j, \vec k \right )</math> :
<math>\vec u \wedge \vec v=\begin 1 & 1 & 1 \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end=(u_yv_z-u_zv_y)\vec i+(u_zv_x-u_xv_z)\vec j+(u_xv_y-u_yv_x)\vec k</math>
Si les vecteurs sont collinéaires, <math>\vec u \| \vec v</math>, alors la multiplication vectorielle donnera 0 : <math>\vec u \wedge \vec v = 0</math>.
[] Norme
En partant de l'identité :
<math>\left[(bc'-b'c)^2+(ca'-c'a)^2+(ab'-a'b)^2\right] + (aa'+bb'+cc')^2 = (a^2+b^2+c^2)(a'^2+b'^2+c'^2)</math>, on peut démontrer facilement l'égalité (appelée Identité de Lagrange) :
<math>\|(\vec u\wedge\vec v)\|^2 + (\vec u\cdot\vec v)^2 = \|\vec u\|^2\cdot \|\vec v\|^2\,</math>
que l'on peut aussi écrire sous la forme :
<math>\left[\frac{\|(\vec u\wedge\vec v)\|}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right]^2 + \left[\frac{(\vec u\cdot\vec v)}{\|\vec u\|\cdot \|\vec v\|}\right]^2 = 1\,</math>
ou encore :
<math>\left[\sin(\widehat,\vec})\right]^2 +
\left[\cos(\widehat,\vec})\right]^2 = 1</math>,ce qui n'est rien d'autre qu'une des façons d'écrire le théorème de Pythagore.
[] Applications
- Si les vecteurs <math>\vec u\,</math> et <math>\vec v\,</math> ont même origine, la norme <math>\|\vec u \wedge \vec v\|\,</math> est égale à l'aire du parallélogramme construit sur <math>\vec u\,</math> et <math>\vec v\,</math>.
- On définit l'opérateur rotationnel comme suit :
<math>\mathrm \ \vec u = \nabla \wedge \vec u=\begin \vec i & \vec j & \vec k \\ \partial_y & \partial_x & \partial_z \\ u_x & u_y & u_z \end</math>
Cet opérateur est utilisé dans le théorème de Stokes.
[] Voir aussi
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/produit vectoriel
