Un article de Wikipedia.y-project.com.
En géométrie plane, un quadrilatère est un polygone à 4 côtés.
Quelques quadrilatères particuliers :
Image:Geometrie quadrilataire.png
Exemple de quadrilatère quelconque
[] Typologie des quadrilatères
Les quadrilatères quelconques offrent relativement peu d'intérêt mais permettent de voir ce qui se cachent derrière les définitions des quadrilatères particuliers bien connus ( trapèzes, parallélogramme, rectangle, losange, carré, ... )
[] Classement par convexité
Un quadrilatère peut être :
- convexe, si tout segment joignant deux points du quadrilatère reste toujours à l'intérieur du quadrilatère;
- concave, si ce n'est pas le cas, mais que les côtés ne se croisent pas; on dit souvent « non-convexe » au lieu de « concave »;
- croisé, si deux de ses côtés se croisent.
Image:Quadrilatères.png
La plupart des quadrilatères particuliers sont convexes. En pratique, un quadrilatère convexe est un quadrilatère dont on peut faire le tour avec une ficelle tendue sans quitter les côtés ( dans l'image ci-dessus, le pointillé sur le second quadrilatère représente la ficelle ).
La première chose à savoir sur les quadrilatères quelconques, c'est que, contrairement aux triangles, la donnée de leurs sommets ne suffisent pas à les définir.
En effet, considérons quatre points A, B, C et D ( non alignés pour éviter certains problèmes ). Ces quatre points peuvent être les extrêmités de 6 segments distincts, AB, AC, AD, BC, BD et CD. Ces segments peuvent être assemblés pour former trois quadrilatères distincts ( et trois seulement ) :
- AB + BC + CD + DA
- AB + BD + DC + CA
- AC + CB + BD + DA
Les quatre segments utilisés par le quadrilatère sont ses côtés ; les deux autres segments sont ses diagonales.
Deux situations doivent être distinguées :
- si l'un des points est à l'intérieur du triangle formé par les trois autres points :
- les trois quadrilatères obtenus sont concaves ;
- sinon, on obtient un quadrilatère convexe et deux croisés.
Donc, si la donnée de quatre points ne suffit pas à définir un quadrilatère quelconque, elle suffit par contre à définir un quadrilatère convexe.
[] Autres classements
Quand on cherche à classer les quadrilatères en leur imposant des propriétés particulières, on obtient par exemple
- les quadrilatères dont les diagonales sont perpendiculaires
Image:Quadrilatères à diagonales perpendiculaires.png
- On peut observer que cette propriété offre peu d'intérêt de régularité. Seul le dernier dessin commence à ressembler à un objet régulier (un cerf-volant) qui nous évoque de loin le losange.
- les quadrilatères dont les côtés sont égaux deux à deux.
Image:Quadrilatères à côtés égaux.png
- On peut observer que l'on n'obtient pas toujours un parallélogramme. Si les côtés égaux sont consécutifs, on retombe sur le cerf-volant. Si le quadrilatère n'est pas convexe, on peut obtenir un quadrilatère croisé.
- les quadrilatères dont les côtés sont parallèles
Image:Quadrilatères à côtés parallèles.png
- on retrouve là les deux classes intéressantes de quadrilatères : les trapèzes et les parallélogrammes
- enfin, les parallélogrammes particuliers nous redonnent les classes des rectangles, des losanges et des carrés (rectangle et losange)
Image:Quadrilatères remarquables.png
[] Propriétés générales des quadrilatères
La somme des angles d'un quadrilatère convexe vaut 360°. Mais cela n'est pas vrai pour un quadrilatère croisé.
L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment.
[] Liens connexes
DernierMirror
Le Texte ci-dessus est disponible sous GNU Free Documentation License.
La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/quadrilatère
