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Une racine (ou zéro) d'une fonction f définie sur D est un point x de D où f s'annule : f(x)=0.
Par exemple, l'application réelle f : x ? cos(x) admet pour racines tous les réels de la forme ?/2 + k? (k ? Z).
- La racine carrée d'un réel r ? 0 est l'unique racine positive du polynôme réel X² ? r. Elle est notée <math>\sqrt r\ ou\ r^{\frac 1 2}</math>. Un complexe c non nul admet toujours deux racines carrées : ce sont les racines du polynôme X² ? c.
- La racine n-ième d'un réel r ? 0 est l'unique racine positive du polynôme réel Xn ? r. Elle est notée <math>\sqrt[n] r\ ou\ r^{\frac 1 n}</math>.
- Les racines n-ièmes d'un complexe c non nul sont les racines du polynôme Xn ? c. Il en existe exactement n.
- L'ensemble des racines n-ièmes de l'unité, noté <math>\mathcal U_n</math>, est formé des n racines du polynôme complexe Xn ? 1. Il s'agit d'un sous-groupe cyclique du groupe multiplicatif des complexes de module 1. Il est formé des éléments <math>\{ 1, e^{i\frac }, e^{i\frac }, \ldots, e^{i\frac } \}</math>
- On appelle racine n-ième primitive de l'unité tout générateur du groupe cyclique <math>\mathcal U_n</math>. Ces racines primitives sont les éléments <math>e^}</math> où k est premier avec n. Leur nombre est égal à ?(n) où ? désigne l'indicatrice d'Euler.
Une part importante des mathématiques s'est développée autour de la recherche de racines de fonctions, et plus particulièrement des polynômes. L'étude des racines de polynômes de degré 3 a mené à la découverte des nombres complexes. De nombreux polynômes réels n'admettent pas de racine réelle, toutefois, le théorème de d'Alembert affirme que tout polynôme de degré n (supérieur ou égal à 1) admet n racines complexes, comptées avec leurs ordres de multiplicité.
Un des plus importants problèmes irrésolus à ce jour en mathématiques concerne la localisation des racines de la fonction Zeta de Riemann.
[] Exemples simples de racines carrées
- <math>\sqrt 2=1,41421356...</math>
- <math>\sqrt 3=1,73205081...</math>
[] Voir aussi
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