sphère

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Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance commune au centre est appelée le rayon de la sphère. Elle n'inclut donc pas les points situés à une distance inférieure au rayon, au contraire de la boule. Concrètement, on peut voir une sphère comme une coquille vide infiniment mince.

Une sphère approximative est appelée géosphère en référence à la Terre dont la surface n'est pas une sphère parfaite. Ce terme est fréquemment utilisé avec astrophysique et parfois en architecture.

Dans un espace euclidien, il s'agit du ballon que tout le monde associe au terme de sphère. Dans un espace non-euclidien ou dans le cas de la définition d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe.

En géométrie cartésienne, une sphère de centre (x₀, y₀, z₀) et de rayon r est l'ensemble des points (x, y, z) tels que

<math>(x-x_0)^+(y-y_0)^+(z-z_0)^ = r^ \,</math>

Les points de la sphère de rayon r et de centre l'origine du repère peut être paramétrée par

<math>

\left\{ \begin x & = & r \sin\theta \; \cos\phi \\ y & = & r \sin\theta \; \sin\phi\\ z & = & r \cos\theta \end \right. \qquad (0 < \theta < \pi \mbox{ et } -\pi < \phi < \pi) </math>

(voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques).

L'aire d'une sphère de rayon <math>r</math> est:

<math>A=4 \pi r^ \,</math>

Le volume qu'elle renferme est :

<math>V= \frac{4 \pi r^}</math>

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle essaie de minimiser l'aire.

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée a un volume égal à 3/2 fois le volume de la sphère. Cette propriété, ainsi que les formules de l'aire et du volume, étaient déjà connues d'Archimède.

Une sphère peut aussi être définie comme la surface formée par la rotation d'un cercle autour de son diamètre. Si le cercle est remplacé par une ellipse, on obtient un sphéroïde.

 
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