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Un système de coordonnées cartésiennes permet de déterminer la position d'un point sur une droite, dans un plan ou dans l'espace à condition d'avoir défini un repère cartésien. Il permet aussi de caractériser un vecteur. La notion de coordonnées cartésiennes peut aussi se généraliser à un espace de dimension n. Le mot cartésien vient du mathématicien et philosophe français René Descartes.
Il existe d'autres systèmes de coordonnées permettant de repérer un point dans le plan ou dans l'espace
[] Abscisse sur une droite orientée
Sur une droite, on définit un repère : une origine O, une orientation et une unité. Tout point M de la droite est alors identifié par sa distance à l'origine précédée du signe + si le parcours de O à M se fait dans le sens défini par l'orientation et précédé du signe - sinon.
Ce réel est appelé l'abscisse du point M. Il permet de faire une correspondance entre les points d'une droite et l'ensemble des réels.
Image:Reperedroite.png
Cette correspondance permet de créer un objet qui s'appelle la droite des réels.
Il existe des système de graduations non régulières mais alors le repère n'est plus appelé cartésien (voir échelle logarithmique)
[] Coordonnées cartésiennes dans le plan
[] Cas général
Dans le plan, on définit un repère qui peut être constitué
- ou bien de deux droites orientées sécantes en O appelées axes des coordonnées et notées habituellement (Ox) et (Oy)
- ou bien d'un point O et deux vecteurs i et j non colinéaires. Dans ce cas, les axes sont les droites ( O , i ) et ( O , j ) et leur graduation réciproque sont fournies par i et j.
Par un point M, on trace
- une droite parallèle à (Oy) qui coupe (Ox) en mx d'abscisse x
- une droite parallèle à (Ox) qui coupe (Oy) en my d'abscisse y
On peut démontrer qu'à chaque point M correspond un couple de réels unique ( x , y ) et qu'à chaque couple ( x , y ) correspond un unique point M. Ce couple de réels s'appelle système de coordonnées du point M dans le repère ( O , i , j )
- Le réel x est appelé l'abscisse de M
- Le réel y est appelé l'ordonnée de M
Image:Repereplan.png
Pour la seconde correspondance, il s'agit de placer les points
- mx sur (Ox) d'abscisse x
- my sur (Oy) d'abscisse y
et de construire alors le point M tel que OmxMmy dessine un parallélogramme.
On pourra de même définir les coordonnées cartésiennes d'un vecteur du plan comme étant les coordonnées cartésiennes du point M tel que
- <math>\overrightarrow =\vec</math>.
On peut remarquer que les coordonnées des points dépendent du point O mais pas les coordonnées d'un vecteur. On dit qu'elles ne dépendent que de la base ( i , j )
En terme vectoriel, on obtient l'égalité suivante :
- <math>\overrightarrow = x\vec+y\vec</math>
Ce qui permet de faire une correspondance entre le calcul sur des coordonnées et le calcul vectoriel.
[] Cas du repère orthonormé
Si le repère est orthonormé (les axes sont perpendiculaires et sont gradués dans la même unité), on peut calculer des distances et des orthogonalités en utilisant la propriété de Pythagore.
La distance OM s'écrit alors :
- <math>OM = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
Les vecteur u( x , y ) et v( X , Y ) sont orthogonaux si et seulement si xX + yY = 0
Image:Ronplan.png
Placement dans un repère orthonormé des points A(1 ; 1) et B(4 ; 5) et calcul de la distance AB.
<math> AB = \sqrt{ ( 4 - 1 )^2 + ( 5 - 1 )^2 } = 5 \,</math>
Le calcul des distances et des angles étant souvent un objectif de la géométrie plane, on privilégiera les repères orthonormés. À tel point que certains ouvrages réservent le terme de coordonnées cartésiennes à ce type de repère, les autres coordonnées étant appelées coordonnées obliques
[] Coordonnées cartésiennes dans l'espace
Le principe de construction sera le même.
On construira d'abord un repère de l'espace formé
- ou bien de trois droites sécantes non coplanaires (Ox), (Oy) (Oz) et orientées
- ou bien un point et trois vecteurs non coplanaires.
Pour un point M, on trace
- un plan parallèle au plan (Oyz) qui coupe (Ox) en mx d'abscisse x
- un plan parallèle au plan (Oxz) qui coupe (Oy) en my d'abscisse y
- un plan parallèle au plan (Oxy) qui coupe (Oz) en mz d'abscisse z
Ces trois plans ainsi que les trois plans de bases (Oxy), (Oxz) et (Oyz) dessinent un parallélépipède.
Image:Repereespace.png
En pratique, on se contente parfois de dessiner seulement la droite parallèle à (Oz) qui rencontre (Oxy) en m et on détermine les coordonnées de m classiquement comme coordonnées dans un plan.
On démontre qu'il y a correspondance biunivoque entre tout point M et tout triplet de réels appelés alors système de coordonnées de M
- le réel x continue à s'appeler l'abscisse
- le réel y s'appelle l'ordonnée
- le réel z s'appelle la cote
On peut de même parler de coordonnées de vecteurs comme étant les coordonnées du point M tels que:
- <math>\overrightarrow =\vec</math>.
De même que dans le plan, l'égalité vectorielle:
- <math>\overrightarrow = x\vec+y\vec + z\vec</math>
permet de faire le lien entre calcul vectoriel et calcul sur des triplets de réels.
Comme dans le plan, il sera necessaire de prendre un repère orthonormé si l'on désire travailler sur des distances et des angles. La distance s'écrira alors:
- <math>OM = \sqrt</math>
Image:Ronespace.png
Placement dans un repère orthonormé du point M(3 ; 2 ; 3) et calcul de la distance OM.
<math>OM = \sqrt=\sqrt</math>
[] Coordonnées cartésiennes en dimension n
Les observations précédentes permettent de remarquer un lien entre couple ou triplet de réels et vecteurs du plan ou de l'espace. Ce lien se généralise à tout
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/système de coordonnées cartésiennes
