système_de_fonctions_itérées

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Un système de fonctions itérées ou IFS (d'après le nom anglais Iterated Function System) est une théorie mathématique développée par John Hutchinson en 1981 mais presque essentiellement utilisée dans le cadre de la géométrie fractale (depuis les travaux de Barnsley en 1988). Cette théorie est entièrement basé sur les invariances par changement d'échelle.

Un IFS peut être la représentation fonctionnelle d'une fractale. Cela donne une théorie parfaitement définie mathématiquement qui permet de nombreuses études sur les fractales (Continuité, dérivabilité, approximation...)

Un IFS est un ensemble de N fonctions contractantes <math>T_i:M\to M</math> dans un espace metrique M. On definit une fonction egalement contractante sur l'ensemble des parties munie avec la distance de Hausdorff, <math>T=\bigcup_^N:\mathcal(M)\to\mathcal(M)</math>. Le théorême du point fixe done l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble fixe <math>F\subset M</math> tel que <math>T(F)=F</math>. <math>F</math> est appelé attracteur de l'IFS. F est alors une fractale.

En pratique, F est obtenue comme la limite <math>T^n(F_0)</math> pour <math>n\to\infty</math> où <math>F_0</math> est un compact quelconque. C'est de cette propriété qui vient le mot itéré car on se restraint souvent à l'étude de <math>T^N(F_0)</math> une approximation de la fractale.

Remarques :

• Les IFS ne servent pas uniquement à la modélisation des fractales, même si c'est dans ce cadre-là qu'elles sont le plus utilisées.
• La plupart des fonctions des IFS sont des fonctions affines. On appelle flame IFS des fractales obtenues par des fonctions non linéaires.

[] Exemples

L'ensemble de Cantor

Fonction 1 : homothétie de rapport 1/3 par rapport au point (0,0,0)

Fonction 2 : homothétie de rapport 1/3 par rapport au point (1,0,0)

La tapis de Sierpinski de sommets P_{1, P2, P3 et P4}

4 homotéties de rapport 1/2 par rapport à chacun des points P_i

[] Images

Encyclopédie numérique des fractales IFS

De nombreux exemples d'images fractales IFS.

http://fractal.ifrance.com/

[] Logiciels

• Brazil Fractal Builder

Logiciel permettant la création d'images fractales de type IFS. Son avantage est de permettre de véritablement construire les objets fractals que vous désirez, de façon visuelle et sans connaissances mathématiques au préalable.

http://www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/1837/

• Autre programme de réalisation d'IFS (pour windows,linux)

• Glito, programme libre permettant d'explorer les IFS de dimension 2 (applications affines, fonction sinusoïdales, ensemble de Julia)

http://emmanuel.debanne.free.fr/glito/

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/système de fonctions itérées