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Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui énonce que dans un triangle rectangle (qui possède un angle droit) le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Ce théorème est nommé d'après Pythagore de Samos qui était un mathématicien, philosophe et astronome de la Grèce antique.
[] Théorème
La forme la plus connue du théorème de Pythagore est la suivante :
« Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. »
Dans un triangle ABC rectangle en C, AB étant l'hypoténuse, où AB = c, AC = b et BC = a (cf. figure ci-contre), on aura donc :
AC2 + BC2 = AB2
ou encore :
a2 + b2 = c2
Le théorème de Pythagore permet ainsi de calculer la longueur d'un des côtés d'un triangle rectangle si l'on connaît les deux autres.
Exemple : avec les notations ci-dessus, soit le triangle rectangle de côtés a = 3 et b = 4; alors la longueur du troisième côté, c, est donnée par:
a2 + b2 = 32 + 42 = 25 = c2
d'où c = 5.
Un triplet de nombres tel que (3, 4, 5), représentant la longueur des côtés d'un triangle rectangle s'appelle un triplet pythagoricien.
[] Réciproque
La réciproque du théorème de Pythagore (proposition 47 du premier livre des Éléments d'Euclide) est également vraie :
« Si le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle (l'hypoténuse étant le premier côté cité). »
Le théorème de Pythagore est donc une propriété caractéristique des triangles rectangles.
Autre formulation :
« Si dans un triangle ABC on a AC2 + BC2 = AB2, alors ce triangle est rectangle en C. »
Ceci peut être prouvé en utilisant la loi des cosinus (ou théorème d'Al-Kashi, déjà connu d'Euclide dans ses Éléments : les propositions 12 et 13 du livre II) qui est une généralisation du théorème de Pythagore appliquée à tous les triangles (euclidiens).
[] Histoire
Que la propriété de Pythagore soit connue depuis l'antiquité est un fait dont on peut trouver trace dans l'histoire. Il suffit pour cela d'observer la corde à treize n?uds dont se servaient les arpenteurs égyptiens et dont on retrouve des illustrations dans de nombreuses représentations des travaux des champs. Cette corde permettait de mesurer des distances mais aussi de construire, sans équerre, un angle droit puisque les 13 n?uds (et les douze intervalles) permettaient de construire un triangle dont les dimensions étaient (3 - 4 - 5), triangle qui s'avère être rectangle. Cette corde restera un outil de géomètre pendant encore tout le Moyen Âge.
La plus ancienne représentation de triplets pythagoriciens (triangle rectangle dont les côtés sont entiers) se trouve sur des mégalithes (vers 2500 av. J.-C., Grande-Bretagne). On retrouve aussi la trace de triplets pythagoriciens sur des tablettes babyloniennes (tablette de Plimpton 322 vers 1800 av. J.-C.) qui prouvent que, plus de 1000 ans avant Pythagore, les géomètres connaissaient l'existence de triplets pythagoriciens.
Mais entre la découverte d'une propriété : « on observe que certains triangles rectangles vérifient cette propriété », sa généralisation : « il semble que tous les triangles rectangles vérifient cette propriété » et sa démonstration : « il est vrai que tous les triangles rectangles (et eux seuls) dans un plan euclidien vérifient cette propriété », il faut souvent attendre plusieurs siècles.
Les preuves historiques de la vie de Pythagore sont déjà si rares qu'il n'est pas étonnant qu'on ne puisse pas lui attribuer avec certitude la paternité de la démonstration. La première trace écrite figure dans les Éléments d'Euclide sous la forme suivante :
« Aux triangles rectangles, le carré du côté qui soutient l'angle droit, est égal aux carrés des deux autres côtés. »
(Livre I, proposition XLVII)
Avec sa réciproque :
« Si le carré de l'un des côtés d'un triangle est égal aux carrés des deux autres côtés, l'angle soutenu par ces côtés est droit. »
(Livre I, proposition XLVIII)
Cependant, les commentaires de Proclos des Éléments d'Euclide (environ 400 ap. J.-C.) semblent indiquer qu'Euclide n'aurait fait que retranscrire une démonstration plus ancienne que Proclos attribue à Pythagore.
C'est donc entre le VIe et le IIIe siècle av. J.-C. que l'on peut dater la démonstration de cette propriété. On raconte que c'est à cette occasion qu'aurait été découverte l'existence de nombre irrationnel. En effet, il est facile de construire un triangle rectangle isocèle de côté 1. Alors le carré de l'hypoténuse vaudrait 2. Or une démonstration simple accessible du temps de Pythagore prouve qu'aucun rationnel n'a un carré égal à 2. On raconte que cette découverte fut tenue secrète par l'école pythagoricienne sous peine de mort.
Parallèlement à ces découvertes, il semble qu'en Chine aussi la propriété y soit connue. On retrouve trace de l'existence de ce théorème dans un des plus anciens ouvrages mathématiques chinois le Zhoubi Suanjing . Cet ouvrage, écrit probablement durant la dynastie de Han (206 av. J.-C. - 220 ap. J.-C.) , regroupe des techniques de calcul datant de la dynastie des Zhou (Xe siècle av. J.-C. - 256 av. J.-C.). Une démonstration du théorème, qui porte en Chine le nom de théorème de Gougu, figure dans le JiuZangh Suanshu (206 av. J.-C. - 220 ap. J.-C.), démonstration qui ne ressemble en rien à celle d'Euclide et qui prouve l'originalité de la démarche chinoise.
En Inde, vers 300 av. J.-C., on trouve la trace d'une démonstration numérique de la propriété (preuve effectuée sur des nombres particuliers mais qui peut se généraliser aisément).
D'une propriété géométrique, le théorème de Pythagore prend aussi un développement arithmétique avec la recherche de tous les triplets d'entiers associés aux trois côtés d'un triangle rectangle : ce sont les triplets pythagoriciens. Cette recherche ouvrira la porte à une autre : la recherche de triplets vérifiant une l'égalité <math>a^n + b^n = c^n</math>, recherche qui conduit à la conjecture de Fermat résolue en 1994 par Andrew Wiles.
Il existe en réalité de nombreuses démonstrations de ce théorème, de celle d'Euclide à celle des Chinois, en passant par celle de l'Inde, celle utilisant des similitudes, celle de Léonard de Vinci et même celle du président américain James Garfield . On ne peut pas passer sous silence Al Kashi qui généralise la propriété à un triangle quelconque : le Théorème d'Al-Kashi.
[] Démonstrations
C'est sans doute le théorème qui possède le plus grand nombre de preuves connues (la loi de réciprocité quadratique se distingue aussi dans ce domaine). En voici trois :
[] La preuve selon Euclide
Avant de faire la démonstration, il faut prouver deux propositions. La première proposition qu'il nous faut prouver (proposition XXXV dans le 1er livre des Éléments) est l'équivalence de deux parallélogrammes de même base et de même hauteur :
« Les parallélogrammes constitués sur une même base, et entre mêmes parallèles, sont égaux entre eux. »
Considérons les deux parallélogrammes ABCD et BCFE, les deux sur la même base, BC, et entre les mêmes parallèles, BC et AF. Observez que AD est égal à BC (car ce sont les deux bases du parallélogramme ABCD), et BC est égal à EF (car ce sont les deux bases du parallélogramme BCFE), alors AD est égal à EF.
Or, il n'y a que trois possibilités (montrées dans l'image) pour la position du point E relatif à D ; E peut être à la gauche de D, au point D, ou à la droite de D. Examinons chaque cas:
- Si E tombe à la gauche de D, ED est la partie commune de AD et EF, alors il est possible de vérifier que AD et EF sont égaux. Mais notez que les côtés AB et DC sont égaux, car ils sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD. Aussi, parce que les points A, E, D et F sont collinéaires, les angles BAE et CDF sont égaux. Par conséquent, les triangles BAE et CDF sont égaux, parce que deux côtés de l'un sont égaux à deux côtés de l'autre, et un angle est commun. Donc les parallélogrammes ABCD et CDFE ne sont que des différents rangements du trapèze BEDC et le triangle BAE (ou CDF). CQFD
- Si E tombe au point D, on trouve d'une façon semblable à 1 que les triangles BAE et CDF sont égaux, et alors qu'il est possible d'obtenir les parallélogrammes ABCD et BCFE en ajoutant à la partie commune BCD le triangle BAE (ou bien CDF). CQFD
- Si E tombe à la droite de D, notez que, parce que les segments AD et EF sont égaux, en ajoutant à chacun la ligne DE, nous trouvons que AE et DF sont égaux. Par un argument semblable à ceux utilisés dans les cas 1 et 2, il est possible de prouver que les triangles BAE et CDF, et par conséquent les trapèzes BADG et CGEF, sont égaux. Alors, il est évident que les parallélogrammes ABCD et CDFE sont obtenus en ajoutant au triangle commun BCG le trapèze BADG (ou CGEF). CQFD
Le remplacement d'un parallélogramme par un autre de même base et même hauteur, justifié par cette proposition, est connu en mathématiques sous le nom de cisaillement. Le cisaillement sera très important dans la preuve de la proposition suivante :
« Si un parallélogramme, et un triangle ont une même base, et sont entre mêmes parallèles ; le parallélogramme sera double du triangle. »
Considérons un parallélogramme ABCD, et soit E un point sur l'extension de AD. Nous voulons démontrer que l'aire de ABCD est deux fois l'aire de BEC. Traçant la diagonale AC, nous voyons que l'aire de ABCD est deux fois l'aire de ABC. Mais, l'aire du triangle ABC est égale à l'aire du triangle BEC, car ils ont la même base. Alors, deux fois l'aire de BEC égale deux fois l'aire de ABC, c'eat-à-dire l'aire de ABCD. Nous avons montré que ABCD (qui est double de ABC) est double de BEC. CQFD
Maintenant, nous pouvons continuer la démonstration.
Considérons le triangle ABC. Soient BCED, ABFG et ACIH les carrés des côtés BC, AB et AC, chacun au sien. Ce que nous voulons démontrer est que BCED est égal à ABFG et ACIH. Nous prouvons ce fait en démontrant que le carré AF égale le rectangle BK et le carré AI égale le rectangle CK.
Pour démontrer la première égalité, notons que les côtés FB et BC sont égaux aux côtés AB et BD, respectivement. Parce que les angles ABF et CBD sont égaux, les angles FBC (FBA + ABC) et ABD (ABC + CBD) sont égaux. Par conséquent, les triangles FBC et ABD sont égaux aussi. Or, notez que, par la proposition XLI, le carré AF est double du triangle FBC et le rectangle BK est double du triangle ABD. Mais FBC et ABD sont égaux, alors double de FBC, ou AF, égale double de ABD, ou BK.
La seconde égalité se prouve d'une manière semblable : observant que IC et CB égalent AC et CE, respectivement, et que l'angle ICB égale l'angle ACE, nous concluons que les triangles ICB et ACE sont égaux. Puis, sachant que le carré AI est double de ICB et le rectangle CK est double de ACE, et que le triangle ICB est égal au triangle ACE, nous voyons que le double de ICB, ou AI, est égal au double de ACE, ou CK.
En conséquence, BCED égale ABFG et ACIH, puisque A(B)F(G) égale BK et A(C)I(H) égale CK, et BCED égale BK et CK. CQFD
Sous cette forme, le théorème de Pythagore est un cas particulier du théorème de Clairaut.
[] Une preuve du théorème de Gougu (Chine)
Note : cette preuve est reconstituée d'après les commentaires du mathématicien chinois Liu Hui (IIIe siècle ap. J.-C.) au sujet du théorème de Gougu figurant dans le JiuZangh SuanShu (206 av.?220 ap. J.-C.).
Cette preuve utilise le principe du puzzle : deux surfaces égales après découpage fini et recomposition ont même aire. Il est à noter qu'Euclide, dans sa propriété de cisaillement, utilise le même principe. Dans la figure ci-contre, le carré du grand côté a été tracé à l'extérieur du triangle, le carré du petit côté et celui de l'hypoténuse sont tournés vers le triangle. Les parties des carrés des côtés de l'angle droit qui dépassent du carré de l'hypoténuse ont été découpées et replacées à l'intérieur de ce carré.
Le triangle rouge est égal au triangle de départ. Le triangle jaune a pour grand côté de l'angle droit le petit côté du triangle de départ et a mêmes angles que le triangle initial. Le triangle bleu a pour grand côté de l'angle droit, la différence des côtés du triangle initial et a mêmes angles que le triangle initial.
[] Une preuve moderne
Considérons un triangle rectangle dont les côtés sont de longueurs a, b et c. Ensuite recopions ce triangle trois fois et plaçons le triangle et ses copies de manière à avoir le côté a de chacun aligné au côté b d?un autre, et pour que les jambes des triangles forment un carré dont le côté est <math>a+b</math>, comme dans l'image. Puis, nous essayons de trouver l'aire du carré formé par les côtés c. Évidemment, c'est <math>c^2</math>, mais c'est aussi égal à la différence entre l'aire du carré extérieur et la somme des aires des triangles. L'aire du carré est <math>(a+b)^2</math> (car son côté est <math>a+b</math>) et l'aire totale des triangles est quatre fois l'aire d'un seul, c'est-à-dire <math>4 (ab/2)</math>, donc la différence est <math>(a+b)^2 - 4 (ab/2)</math>, ce qu'on peut simplifier comme <math>a^2 + 2ab + b^2 - 2ab</math>, ou bien <math>a^2 + b^2</math>. Nous avons démontré que l'aire du carré de côté c est égale à <math>a^2+b^2</math> ; en effet, <math>c^2 = a^2+b^2</math>. CQFD
Il faut noter que cette démonstration ne fonctionne pas dans une géométrie non euclidienne, car sur une sphère, par exemple, la somme des angles d'un triangle vaut plus que 180 degrés, et puis le carré de côté c ne peut être formé.
Il existe de nombreuses autres démonstrations du théorème de Pythagore ; le vingtième président des États-Unis d'Amérique, James Garfield en développa une lui-même. L'une des plus intéressantes est la preuve calculatoire basée sur la formule d'Euler. (Voir les liens externes ci-dessous pour une présentation de différentes preuves du théorème de Pythagore).
[] Variations sur le théorème
[] Contraposée
La contraposée du théorème affirme ceci :
« Si les longueurs des côtés d'un triangle ABC vérifient <math>AB^2 \ne AC^2+CB^2\,\!</math>, alors le triangle n'est pas rectangle en C. »
Notons que la contraposée est logiquement équivalente au théorème direct, elle n'a en revanche pas le même usage en démonstration puisque le théorème sert à calculer le troisième côté manquant d'un triangle rectangle alors que la contraposée sert à démontrer qu'un triangle dont on connaît les longueurs des trois côtés n'est pas rectangle.
[] Contraposée de la réciproque
Enfin, la contraposée de la réciproque du théorème de Pythagore stipule ceci :
Si le triangle ABC n'est pas rectangle en C alors <math>AB^2 \ne AC^2+CB^2\,\!</math>
[] Généralisation à d'autres figures que des carrés
Une autre généralisation du théorème de Pythagore fut déjà énoncée par Euclide dans ses Éléments (Proposition 31 du livre VI) :
« Dans les triangles rectangles, la figure construite sur le côté qui sous-tend l'angle droit, est égale aux figures semblables et semblablement décrites sur les côtés qui comprennent l'angle droit. »
Autrement dit :
« Si on érige des figures semblables (voir géométrie) sur les côtés d'un triangle droit, alors la somme des aires des deux plus petites figures égale l'aire de la plus grande. »
Cette propriété permet de montrer que l'aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires des lunules dessinées sur chaque côté de l'angle droit (voir le théorème des deux lunules).
[] Utilisations
- En coordonnées cartésiennes dans un repère orthonormé, le théorème de Pythagore permet d'exprimer la distance entre deux points du plan : ainsi, si <math>(x_a, y_a)</math> et <math>(x_b, y_b)</math> sont des points du plan euclidien, la distance les séparant est donnée par :
- <math> \sqrt{(x_b-x_a)^2 + (y_b-y_a)^2}. </math>
- Plus généralement, dans un espace euclidien (ou dans un espace affine euclidien) de dimension finie, la distance de <math>(x_1, \dots, x_k)</math> à <math>(y_1,\dots, y_n)</math> s'écrit
- <math> \sqrt^}. </math>
- Le théorème de Pythagore se généralise aussi dans les simplexes de plus haute dimension. Si un tétraèdre possède un coin formé d'angle droit (un coin de cube), alors le carré de l'aire de la face opposée au coin est la somme des carrés des aires des trois autres faces. Ce théorème est aussi connu sous le nom de théorème de Gua.
[] Théorème de Pythagore dans d'autres espaces
[] Écriture vectorielle
En faisant intervenir le concept de vecteur, on peut reformuler le théorème comme suit :
« Étant donnés deux vecteurs <math>\vec</math> et <math>\vec</math>, <math>\Vert\vec+\vec\Vert^2 = \Vert\vec\Vert^2 + \Vert\vec\Vert^2</math> si et seulement si <math>\vec u</math> et <math>\vec v</math> sont orthogonaux. »
De manière générale, on a simplement l'inégalité triangulaire :
- <math>||\vec + \vec||^2 \le ||\vec||^2 + ||\vec||^2 + 2||\vec|| \cdot ||\vec||</math>
que l'on écrit en général
- <math>||\vec + \vec|| \le ||\vec|| + ||\vec||.</math>
[] Dans un espace préhilbertien
Le théorème de Pythagore découle en fait directement de la définition du produit scalaire, et se généralise à tout espace préhilbertien. Dans ce cadre général, il affirme que si <math>u</math> et <math>v</math> sont deux vecteurs orthogonaux, alors :
- <math>\left\Vert u\right\Vert^2 + \left\Vert v\right\Vert^2 = \left\Vert u+v\right\Vert^2</math>
La réciproque est vraie dans le cas réel.
De plus, cette formule se généralise à une famille de vecteurs orthogonaux. Pour elle, la somme des carrées des normes est égale au carré de la norme de la somme.
[] En géométrie non euclidienne
Cette propriété résiste mal au transfert dans d'autres géométries à cause de leur courbure :
- si la courbure est positive (géométrie sphérique), on obtient : c2 < a2 + b2 ;
- si la courbure est négative (géométrie hyperbolique), on obtient : c2 > a2 + b2 ;
- si la courbure est nulle (géométrie plane ou cylindrique), on conserve : c2 = a2 + b2.
Plus précisément, pour tout triangle rectangle sur une sphère de rayon R, le théorème de Pythagore prend la forme suivante :
- <math> \cos \left(\frac\right)=\cos \left(\frac\right)\,\cos \left(\frac\right).</math>
- En utilisant un développement limité d'ordre 2 de la fonction cosinus, on retrouve bien, pour des grandes valeurs de R, la formule classique du théorème de Pythagore.
- Pour tout triangle rectangle en géométrie hyperbolique, avec une courbure de -1, le théorème de Pythagore prend la forme suivante
- <math> \cosh c=\cosh a\,\cosh b</math>
- où cosh est le cosinus hyperbolique. En utilisant le développement limité d'ordre 2 de cette fonction, on retrouve bien, pour de petites valeurs des côtés, la forme classique du théorème de Pythagore.
[] Espace physique
Comme le théorème de Pythagore est dérivé d'axiomes de la géométrie euclidienne, et que les espaces physiques ne sont pas toujours euclidiens, il ne doit pas être valide pour les triangles dans les espaces physiques. L'un des premiers mathématiciens à réaliser ceci fut Carl Friedrich Gauss, qui mesura donc attentivement de grands triangles rectangles dans le cadre de son étude géographique afin de vérifier ce théorème. Il ne trouva aucun contre-exemple avec sa précision de mesure. La théorie de la relativité générale soutient que la matière et l'énergie conduisent l'espace à être non-euclidien et le théorème ne s'applique donc pas strictement en présence d'énergie. Cependant, la déviation par rapport à l'espace euclidien est faible sauf près d'imposantes sources gravitationnelles comme les trous noirs. Déterminer si le théorème est enfreint sur d'importantes échelles cosmologiques, c'est-à-dire mesurer la courbure de l'Univers, est un problème ouvert pour la cosmologie.
[] Voir aussi
[] Articles connexes
[] Liens externes
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