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En mathématiques, le triangle de Pascal est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. À la ligne i et colonne j (0 ? j ? i) est placé le coefficient binomial <math>{i \choose j}</math>.
Le triangle de Pascal se généralise aisément à des dimensions supérieures. La version tridimensionnelle s'appelle la pyramide de Pascal.
En écrivant la formule de Pascal,
- pour tous entiers i et j tels que 0 < j < i, <math>{i \choose j}={i-1 \choose j-1}+{i-1 \choose j}</math>
nous remarquons que le coefficient de la ligne i et colonne j s'obtient en ajoutant les coefficients de la ligne i - 1 et colonne j - 1 et de la ligne i - 1 et colonne j. De plus nous savons que
- <math>{n \choose 0}={n \choose n}=1</math>.
Nous en déduisons une méthode de construction du triangle de Pascal :
- nous plaçons dans la colonne 0 des 1 à chaque ligne, et des 1 à chaque entrée de la diagonale,
- en partant du haut et en descendant, nous complétons le triangle en ajoutant deux coefficients adjacents d'une ligne, pour produire le coefficient de la ligne inférieure, en dessous du coefficient de droite.
Voici 14 lignes du triangle du Pascal:
| 1
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| 1 | 1
|
| 1 | 2 | 1
|
| 1 | 3 | 3 | 1
|
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1
|
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1
|
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1
|
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1
|
| 1 | 8 | 28 | 56 | 70 | 56 | 28 | 8 | 1
|
| 1 | 9 | 36 | 84 | 126 | 126 | 84 | 36 | 9 | 1
|
| 1 | 10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | 1
|
| 1 | 11 | 55 | 165 | 330 | 462 | 462 | 330 | 165 | 55 | 11 | 1
|
| 1 | 12 | 66 | 220 | 495 | 792 | 924 | 792 | 495 | 220 | 66 | 12 | 1
|
| 1 | 13 | 78 | 286 | 715 | 1287 | 1716 | 1716 | 1287 | 715 | 286 | 78 | 13 | 1
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[] Utilisations du triangle de Pascal
La triangle du Pascal est souvent utilisé dans les développements binomiaux. Par exemple
- <math>(X+1)^2=1X^2+2X+1^2</math>
Notez que les coefficients de chaque monôme, sont ceux de la troisième ligne du triangle de Pascal, c'est-à-dire 1, 2, 1. Ainsi quand nous effectuons un développement de la forme
- <math>(X+Y)^n=a_0X^n+a_1X^Y+a_2X^Y^2+\ldots+a_nY^n</math>,
les coefficients sont ceux qui se trouvent sur la n+1ème ligne du triangle de Pascal.
[] Démonstration
Cette formule se démontre simplement par récurrence :
hypothèse de récurrence:
<math>(a+b)^n =\sum_^n\,{n \choose i}a^b^</math>
Cette hypothèse est vraie au rang 1 :
<math>\begin
(a+b)^1= a+b &=&{1 \choose 0}a^1b^0+{1 \choose 1}a^0b^1 \\
\ &=&a+b\\
\end</math>
Montrons que si elle vraie pour n alors elle est vraie pour n+1:
| <math>(a+b)^\,</math>
| <math>=(a+b)(a+b)^n\,</math>
|
|
| <math>=(a+b)\sum_^n\,{n \choose i}a^b^</math>
|
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| <math>=\sum_^n\,{n \choose i}a^b^+\sum_^n\,{n \choose i}a^
b^</math>
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| <math>={n \choose 0}a^+\sum_^\,\left({n \choose i}+{n \choose i+1}\right
)a^b^+{n \choose n}b^</math>
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| <math>={n \choose 0}a^+\sum_^\,{n+1 \choose i+1}a^b^+{n \choose n}b^</math>
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| <math>={n \choose 0}a^+\sum_^\,{n+1 \choose i}a^b^+{n \choose n}
b^</math>
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| <math>=\sum_^\,{n+1 \choose i}a^b^</math>
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La formule est vraie au rang n+1, elle est donc vraie pour tout
n.
Dans ce triangle, si vous colorez en blanc tous les nombres pairs et en noir tous les nombres impairs, vous obtenez le triangle de Sierpinski.
[] Algorithme de construction
Écrivons l'algorithme, en langage formel, de construction du triangle de Pascal. Notez que cet algorithme crée une nouvelle ligne à partir de la précédente.
Variables :
Tableau de 1 à 50 de tableau de 1 à 50 d'entiers c (tableau bidimensionnel)
Entiers i, j, n
n ? 10
c[0][0] ? 1
pour i de 1 à n faire
c[i][0] ? 1
c[i][i] ? 1
pour j de 1 à i-1 faire
c[i][j] ? c[i-1][j-1] + c[i-1][j]
afficher_tableau(c)
[] Histoire
Le triangle a été décrit par Zhu Shijie en 1303 dans son livre le Miroir de Jade des Quatre Inconnues. Dans ce livre, Zhu présente le triangle comme une méthode ancienne (de plus 200 années avant son temps) pour déterminer les coefficients du binôme, ce qui indique que la méthode était connue des mathématiciens chinois cinq siècles avant Pascal. Elle était également connue des mathématiciens arabes, par exemple al-Karaji (953 - 1029) ou Omar Khayyam au XIe siècle.
[] Voir aussi
[] Liens internes
[] Liens externes
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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/triangle de Pascal
