triangle_rectangle

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• Théorème de Pythagore : si l'on considère un triangle rectangle ABC rectangle en A, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents, soit :

BC² = AC² + AB²

Cliquer sur le lien pour avoir l'illustration et la démonstration

• Dans un triangle ABC rectangle en A, si M est le milieu de l'hypoténuse [BC], la longueur de la médiane AM de l'angle droit vaut la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Commençons par une démonstration purement géométrique :

Par définition de la médiane, M   est le milieu de [BC]   .

Le triangle rectangle ABC   est un demi-rectangle ABCD   .

Un rectangle est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leur milieu,

donc M , milieu de [BC]   , est aussi celui de [AD]  .

Les diagonales d'un rectangle sont de longueur égales, donc AD = BC  

et AM = AD / 2 = BC / 2 .

Cela peut aussi se démontrer en faisant appel aux vecteurs :

<math>\vec = \vec + \vec / 2 \,</math>   et   <math>\vec = \vec + \vec\,</math> ,   d'où :   <math>\vec = (\vec + \vec) / 2 \,</math>,

Ces deux derniers vecteurs sont orthogonaux, donc :     AM ² = (AB ² + AC ²)/4

D'autre part, en appliquant le théorème de Pythagore au triangle ABC, on obtient :   BC ² = AB ² + AC ²

Et finalement :   AM = BC / 2

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La source est wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/triangle rectangle